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Module et argument d'un nombre complexe - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.
Module de a, plus, b, i\mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Un argument de a, plus, b, itheta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Forme trigonométrique du nombre complexe de module r et d'argument thetar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, times, i

Module et argument d'un nombre complexe

Un nombre complexe z est sous forme algébrique s'il est sous la forme a, plus, b, i, où a est sa start color #11accd, start text, p, a, r, t, i, e, space, r, e, with, \', on top, e, l, l, e, end text, end color #11accd et b sa start color #1fab54, start text, p, a, r, t, i, e, space, i, m, a, g, i, n, a, i, r, e, end text, end color #1fab54. Le nombre complexe z, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i est sous forme algébrique.
L'image dans le plan complexe du nombre complexe z, equals, a, plus, b, i est le point M, left parenthesis, a, space, ;, b, right parenthesis :
Si start text, M, end text est l'image de z, equals, a, plus, b, i et start text, O, end text l'origine du repère, on peut caractériser le nombre complexe z par son start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, e, space, r, end text, end color #e07d10 défini comme la longueur du segment start text, open bracket, O, M, close bracket, end text et par l'une des mesures θ de start color #aa87ff, start text, l, apostrophe, a, n, g, l, e, space, o, r, i, e, n, t, e, with, \', on top, end text, end color #aa87ff des demi-droites notées open bracket, O, x, right parenthesis et open bracket, O, M, right parenthesis dans certains pays et open bracket, O, x et open bracket, O, M dans d'autres pays.
On peut donc caractériser le nombre complexe z par son start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, e, end text, end color #e07d10 qui est noté avec le symbole de la start color #e07d10, start text, v, a, l, e, u, r, space, a, b, s, o, l, u, e, end text, end color #e07d10 : vertical bar, z, vertical bar et par une des mesures de start color #aa87ff, start text, l, apostrophe, a, n, g, l, e, space, o, r, i, e, n, t, e, with, \', on top, space, end text, θ, end color #aa87ff appelée start color #aa87ff, start text, u, n, space, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff de z. La valeur de cet angle comprise entre minus, π et π est appelée l'argument principal de z.
Si z, equals, a, plus, b, i, alors vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, et l'un de ses arguments θ est tel que start text, c, o, s, space, end text, θ, equals, a, slash, vertical bar, z, vertical bar et start text, s, i, n, end text, θ, equals, b, slash, vertical bar, z, vertical bar.

1 - Calculer le module d'un nombre complexe

On applique le théorème de Pythagore :
vertical bar, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, end square root
Par exemple, le module de z, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i est vertical bar, z, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Exercice 1.1
vertical bar, 3, plus, 7, i, vertical bar, equals

On demande sa valeur exacte.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Calculer un argument d'un nombre complexe

Pour calculer un argument d'un nombre complexe on peut utiliser la fonction start text, a, r, c, t, a, n, g, e, n, t, e, end text. Mais il ne faut pas oublier que quel que soit θ, start text, t, a, n, end text, left parenthesis, θ, plus, k, ×, 180, °, right parenthesis, equals, start text, t, a, n, space, end text, θ et que la fonction arctangente renvoie celle de ces mesures qui est comprise entre minus, 90, ° et 90, ° (ou entre minus, π, slash, 2 et π, slash, 2). Il faut donc parfois ajouter soit 180, ° (ou π), soit 360, ° (ou 2, π) à la valeur de la fonction arctangente obtenue.
theta, equals, start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, b, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, right parenthesis\operatorname{}
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Exemple 1 : M est dans le Quadrant start text, I, end text

Soit à calculer un argument de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees\operatorname{}

Exemple 1 : M est dans le Quadrant start text, I, I, end text

Soit à calculer un argument de start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i. L'image de start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i est dans le Quadrant start text, I, I, end text.
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees\operatorname{}
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 180, degrees.\operatorname{}
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Exercice 2,1
z, equals, 1, plus, 4, i
theta, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Arrondir la réponse au dixième. On demande l'argument principal theta compris entre minus, 180, degrees et 180, degrees.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument

La partie réelle du nombre complexe de module et dont un argument est θ est r, start text, c, o, s, space, end text, θ et sa partie imaginaire est r, start text, s, i, n, end text, θ
start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #11accd, a, end color #11accd, end superscript, plus, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #1fab54, b, end color #1fab54, end superscript, times, i
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
La forme algébrique du nombre complexe de module start color #e07d10, 2, end color #e07d10 et dont un argument est start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff :
start color #e07d10, 2, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, i, equals, start color #11accd, square root of, 3, end square root, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, i
Exercice 3,1
vertical bar, z, start subscript, 1, end subscript, vertical bar, equals, 3 et theta, start subscript, 1, end subscript, equals, 20, degrees
z, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
+
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
i
Arrondir la partie réelle et la partie imaginaire de z, start subscript, 1, end subscript au millième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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  • starky tree style l'avatar de l’utilisateur pauline pey
    Bonjour,
    dans la page "Exercices : Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument", pour l'exercice où on a |z| = 13 et θ = 315°, le corrigé dit :
    Calcul de a :
    a = |z| cos θ
    a = 13 cos 315° = (13√2)/2
    Je ne comprends pas pourquoi c'est égal à (13√2)/2. Quelqu'un saurait me l'expliquer ?
    (2 votes)
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