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6e année secondaire - 6h

Cours : 6e année secondaire - 6h > Chapitre 1 

Leçon 5: Opérations sur les nombres complexes
Mathématiques
6e année secondaire - 6h
Nombres
Opérations sur les nombres complexes
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Multiplier deux nombres complexes

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Comment multiplier deux nombres complexes. Par exemple, comment faire le produit (1+2i)×(3+i).
L'ensemble des complexes est l'ensemble des nombres de la forme start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, où start color #1fab54, a, end color #1fab54 et start color #11accd, b, end color #11accd sont des réels.
Les propriétés de la multiplication, et de façon générale, des quatre opérations sont les mêmes dans l'ensemble des complexes que dans l'ensemble des réels.
Nous allons traiter un certain nombre d'exemples.

Multiplier un nombre réel par un nombre complexe

Exemple

Effectuer le produit minus, 4, ×, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis.

Réponse

On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition, de la même façon que dans l'ensemble des réels.
−4×(13+5i)=−4×13+(−4)×5=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}×(13+5i)&=\tealD{-4}×13+\tealD{(-4)}×5=-52-20i \end{aligned}
C'était simple !

Multiplier un imaginaire pur par un nombre complexe

Exemple

Effectuer le produit 2, i, ×, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis.

Réponse

On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition :
2i×(3−8i)=2i×3−2i×8i=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}×(3-8i)&=\tealD{2i}×3-\tealD{2i}×8i=6i-16i^2 \end{aligned}
Le résultat contient i, squared donc il n'est pas sous la forme a, plus, b, i.
On sait que start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10.
2i(3−8i)6i−16i2=6i−16×(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &6i-16\goldD{i^2}=6i-16×(\goldD{-1})=6i+16\\ \end{aligned}
Donc 2, i, ×, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

À vous !

Exercice 1

Effectuer 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
Le résultat doit être sous la forme a, plus, b, i.
 

Exercice 2

Effectuer minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
Le résultat doit être sous la forme a, plus, b, i.
 

Maintenant on va calculer le produit de deux nombres complexes.

Multiplier deux nombres complexes

Exemple

Effectuer le produit left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis.

Réponse

On utilise la double distributivité.
De la même façon que quand on multiplie deux binômes, on multiplie chacun des termes du premier nombre par chacun des termes du deuxième.
(1+4i)(5+i)=1×5+1×i+4i×5+4i×i=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=\tealD{1}×5+\tealD{1}×i+\maroonD{4i}×5+\maroonD{4i}×i=5+i+20i+4i^2=5+21i+4i^2 \end{aligned}
start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, donc on obtient :
(1−5i)(−6+i)5+21i+4i2=5+21i+4×(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &5+21i+4\goldD{i^2}=5+21i+4×(\goldD{-1})=5+21i-4=1+21i \end{aligned}

À vous !

Exercice 3

Effectuer left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
Le résultat doit être sous la forme a, plus, b, i.
 

Exercice 4

Effectuer left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
Le résultat doit être sous la forme a, plus, b, i.
 

Exercice 5

Effectuer left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Le résultat doit être sous la forme a, plus, b, i.
 

Exercice 6

Effectuer left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
Le résultat doit être sous la forme a, plus, b, i.
 

Deux autres exercices

Exercice 1

a et b sont deux réels. Effectuer le produit left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis.
 

Exercice 2

Effectuer left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, times, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Le résultat doit être sous la forme a, plus, b, i.
 

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