Interprétation géométrique des puissances d'un nombre complexe

Quand on expose ce qu'est l'ensemble des complexes, on commence par définir ce nouveau nombre $i$‍ dont le carré est $i^2=-1$‍. Puis on définit le plan complexe où l'image de $i$‍ est le point de coordonnées $(0,1)$‍. Est-ce cohérent avec l'interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes ?

Oui, car la rotation associée à la multiplication par $i$‍ est la rotation de centre l'origine et d'angle ${90}^{\circ }$‍.

Ceci parce que le module de $i$‍ est $1$‍ et parce que l'un de ses arguments est ${90}^{\circ }$‍,

Que se passe-t-il si on multiplie deux fois de suite par $i$‍ ?

Si on multiplie deux fois de suite par $i$‍, la rotation associée est la rotation de centre $O$‍ et d'angle ${180}^{\circ }$‍, c'est-à-dire la rotation associée à la multiplication par $-1$‍. Ce qui normal car multiplier deux fois de suite par $i$‍, c'est multiplier par $i^2$‍ qui est égal à $-1$‍.

Tout est bien cohérent !

Quelle est l'interprétation géométrique de la puissance d'un nombre complexe ?

Le module de $z=1+i\sqrt{3}$‍ est $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$‍ et l'un de ses arguments est ${60}^{\circ }$‍. Quelle est la transformation que l'on peut associer à trois multiplications par $z$‍ successives ?

A chacune des multiplications est associée l'homothétie de centre $O$‍ et de rapport $2$‍, donc l'homothétie associée à trois multiplications par $z$‍ successives est l'homothétie de centre $O$‍ et de rapport $8$‍. De même à chacune des multiplications est associée la rotation de centre $O$‍ et d'angle ${60}^{\circ }$‍, donc la rotation associée à trois multiplications par $z$‍ successives est la rotation de centre $O$‍ et d'angle ${180}^{\circ }$‍. La transformation associée est donc l'homothétie de rapport $8$‍ suivie de la rotation dont l'angle est l'angle plat. On obtient le même résultat que si on avait multiplié par $-8$‍, donc $(1+i\sqrt{3}{)}^3=-8$‍.

Algébriquement :

Quelle est la suite de transformations que l'on peut associer à huit multiplications par $z$‍ successives ?

Le module de $1+i$‍ est :

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$‍,

A chacune des multiplications par $z$‍ est associée l'homothétie de centre $O$‍ et de rapport $\sqrt{2}$‍ donc le rapport de l'homothétie associée à $8$‍ multiplications par $z$‍ successives est $(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$‍.

A chacune des multiplications par $1+i$‍ est associée la rotation de centre $O$‍ et d'angle ${45}^{\circ }$‍, donc l'angle de la rotation associée à $8$‍ multiplications successives par $z$‍ est $8\times {45}^{\circ }={360}^{\circ }$‍, c'est-à-dire la rotation d'angle nul. On en déduit que $(1+i{)}^8=16$‍.

Algébriquement :

Ici, la question est de résoudre l'équation $z^5=1$‍ dans l'ensemble des complexes. Bien sûr $z=1$‍ est une solution, mais y en a-t-il d'autres ? Une interprétation de $z^5=1$‍ est que multiplier $5$‍ fois de suite par $z$‍ revient à multiplier par $1$‍. Multiplier $5$‍ fois de suite par $z$‍, c'est appliquer $5$‍ fois de suite à l'image de $1$‍ dans le plan complexe une certaine homothétie de centre $O$‍ suivie d'une certaine rotation de centre $O$‍. Si $z^5=1$‍, c'est que la transformation associée à $5$‍ multiplications successives par $z$‍ est la transformation identique.

Tout d'abord, le rapport de l'homothétie associée à la multiplication par $z$‍ est obligatoirement $1$‍, donc le module de $z$‍ est égal à $1$‍. Pour la rotation, puisque l'on se retrouve au point de départ après l'avoir appliqué cinq fois de suite, c'est que son angle est égal à ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ d'un tour complet :

si on applique $5$‍ fois de suite cette rotation, on se retrouve au point de départ.

${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$‍, donc le nombre cherché est $z=\cos ({72}^{\circ })+i\sin ({72}^{\circ })$‍.

Il y a d'autres solutions, comme par exemple, la rotation dont l'angle est égal à ${\displaystyle \frac{2}{5}}$‍ du tour complet.

ou la rotation dans le sens rétrograde dont l'angle est égal à ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ du tour complet.

Les images dans le plan complexe des valeurs de $z$‍ solutions de l'équation sont les sommets d'un pentagone régulier :

$z^6=-27$‍ donc la transformation associée à la multiplication $6$‍ fois de suite par $z$‍ est une homothétie de rapport $27$‍ suivie d'une rotation d'angle ${180}^{\circ }$‍ car le signe moins montre que l'angle de la rotation est ${180}^{\circ }$‍.

L'homothétie cherchée appliquée $6$‍ fois de suite est l'homothétie de rapport $27$‍, donc l'homothétie cherchée est de rapport $\sqrt[6]{\phantom{A}27}=\sqrt{3}$‍. La rotation cherchée appliquée $6$‍ fois de suite est la rotation d'angle ${180}^{\circ }$‍, donc l'angle de la rotation cherchée est ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{6}}={30}^{\circ }$‍. Donc une solution de l'équation $z^6=-27$‍ est

Mais il y a d'autres solutions. Il y a $6$‍ solutions ! Ce sont les affixes des sommets de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle de rayon $\sqrt{3}$‍ :

A vous de le justifier !

Si on doit résoudre cette équation pour une certaine valeur de $n$‍ et une certaine valeur de $w$‍ (comme dans l'exemple précédent où $n=6$‍ et $w=-27$‍), on commence par écrire $w$‍ sous forme trigonométrique :

Un argument de $z$‍ est ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ et le module de $z$‍ est $\sqrt[n]{\phantom{A}r}$‍. En effet la transformation associée à la multiplication $n$‍ fois de suite par $z$‍ doit être l'homothétie de centre $O$‍ et de rapport $r$‍ suivie de la rotation de centre $O$‍ et d'angle $\theta$‍. Donc :

On est arrivé à cette solution à partir de l'argument $\theta$‍ de $w$‍. Pour trouver les autres solutions, il suffit de penser aux autres arguments de $w$‍ : $\theta +2\pi$‍, $\theta +4\pi$‍, etc. c'est-à-dire, pour tout $k$‍, $\theta +2k\pi$‍. En prenant l'argument $\theta$‍, on a obtenu la rotation d'angle ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍, mais si on prend, par exemple, l'argument $\theta +2\pi$‍, on obtiendra une rotation différente. Donc la forme générale des solutions est :

$z=\sqrt[n]{\phantom{A}r}\times (\cos \left({\displaystyle \frac{\theta +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{\theta +2k\pi }{n}}\right))$‍ où $k$‍ est un entier.

Les solutions sont les valeurs de $z$‍ pour $k=0$‍, $k=1$‍ .... jusqu'à $k=n-1$‍. Si $k=n$‍, alors ${\displaystyle \frac{\theta +2n\pi }{n}}={\displaystyle \frac{\theta }{n}}+2\pi$‍ et la rotation associée est la même que la rotation d'angle ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ donc on obtient la même valeur de z pour $k=n$‍ que pour $k=0$‍, puis la même valeur de z pour $k=n+1$‍ que pour $k=1$‍, et ainsi de suite.