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6e année secondaire - 6h
Cours : 6e année secondaire - 6h > Chapitre 8
Leçon 18: Loi binomiale- Loi binomiale
- Loi binomiale 2
- Nombre de penaltys réussis sur 6 essais
- Représentation graphique de la loi binomiale
- Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale
- La formule du binôme
- Le triangle de Pascal
- Calcul du coefficient d'un terme particulier
- La formule du binôme
- Les coefficients du binôme et les combinaisons
- Les coefficients du binôme et les combinaisons 2
- Espérance mathématique dans le cas de la loi binomiale
- Espérance et variance dans le cas de la loi de Bernoulli - exemple
- Loi de Bernoulli, moyenne et variance
- La loi normale - Savoirs et savoir-faire
La loi normale - Savoirs et savoir-faire
Les lois normales ont une grande importance en statistiques. La courbe représentative de leur fonction de densité est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche du fait de sa forme. Elle possède un axe de symétrie en la moyenne ou la médiane (elles sont égales) et des intervalles remarquables (68% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- un fois l'écart-type autour de la moyenne.)
La loi normale ou loi de Laplace-Gauss
Les premiers statisticiens ont constaté que de nombreuses distributions statistiques observées pouvaient être décrites et modélisées par une loi nommée par conséquent loi normale (cela ne signifie pas pour autant que les autres distributions soient anormales).
Les propriétés d'une distribution normale sont :
- La fonction de densité de probabilités de la loi normale a la forme d'une courbe en cloche symétrique
- la moyenne et la médiane sont égales ; la courbe est centrée sur la moyenne
- L’axe des abscisses est une asymptote, σ représente la différence des abscisses entre le sommet de la courbe et le point d’inflexion. approximately equals, 68, percent des observations sont comprises dans un intervalle de +/- un fois l'écart-type autour de la moyenne
- approximately equals, 95, percent des observations sont comprises dans un intervalle de +/- 2 fois l'écart-type autour de la moyenne
- et approximately equals, 99, comma, 7, percent des observations sont comprises dans un intervalle de +/- 3 fois l'écart-type autour de la moyenne.
Tracer la courbe représentative d'une fonction de densité de la loi normale : exemple
Le diamètre du tronc d'une certaine variété de pin suit la loi normale
de paramètres mu, equals, 150, start text, c, m, end text et sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
Tracer la courbe représentative de la distribution "diamètre des troncs".
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N left parenthesis, µ, space, ;, space, σ, squared, right parenthesis.
2 : La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation x, equals, 150, start text, end text.
3 : On sait que l'intervalle 150+/- 30, e, x, t, c'est à dire open bracket, 120, ;, 180, close bracket contient 69, comma, 48 % des observations. L'intervalle 150+/- 2, ×, 30 c'est à dire open bracket, 90, ;, 210, close bracket contient 94, comma, 87 % des observations.
Calcul de pourcentages d'observations : exemple
Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de mu, equals, 150, start text, c, m, end text et un écart-type de sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
Quel est environ le pourcentage de pins dont le diamètre du tronc est supérieur à 210, start text, c, m, end text, space, question mark
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N left parenthesis, µ, space, ;, space, σ, squared, right parenthesis avec mu, equals, 150, start text, c, m, end text et sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
2 : Un diamètre de 210, start text, c, m, end text correspond au diamètre à deux écarts-types au-dessus de la moyenne. On colorie l'aire du domaine correspondante à P, left parenthesis, X, is greater than, 210, right parenthesis .
3 : On additionne les pourcentages d'observations correspondants à cette probabilité :
Environ 2, comma, 5, percent des pins ont un diamètre supérieur à 210, start text, c, m, end text, point
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices sur la règle empirique.
Calcul d'un nombre d'observations : exemple
Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de mu, equals, 150, start text, c, m, end text et un écart-type de sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
Une parcelle de la forêt contient 500 de ces pins.
Quel est environ le nombre de ces pins dont le diamètre du tronc est inférieur à 120, start text, c, m, end text, space, question mark
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N left parenthesis, µ, space, ;, space, σ, squared, right parenthesis avec mu, equals, 150, start text, c, m, end text et sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
2 : Un diamètre de 120, start text, c, m, end text correspond au diamètre à un écart -type en dessous de la moyenne. On colorie l'aire du domaine correspondante à P, left parenthesis, X, is less than, 120, right parenthesis .
3 : On additionne les pourcentages d'observations correspondants à cette probabilité :
Environ 16, percent des pins ont un diamètre inférieur à 120, start text, c, m, end text, point
4 : On calcule le nombre de pins correspondant.
On calcule 16, percent de 500.
Environ 80 pins ont un diamètre inférieur à 120, start text, c, m, end text, point
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