La formule du binôme

dans cette vidéo on va découvrir le théorème binomiale et pour cela alors ses conseillers même si ce n'est pas absolument nécessaire d'avoir ces deux connaissances gens d'avoir étudié avant ce qu'on appelle des combinaisons donc combinaison de cas par bienne qui peut aussi s'écrire comme ça qui vaut une fact factorielle n / facteurs y allait de moins qu'à fois factorielle cas et la deuxième chose c'est cette notation sigma qui est une manière pratique de décrire une somme pour cas allant de zéro jusqu'à end une fonction de cas et cette notation sigma voilà ce qu'elle veut dire en fait ça veut dire f20 plus f 2 1 + etc jusqu'à f de haine bon on va avoir ça en tête et je vais le laisser à côté au cas où tu as besoin de te référer à ce que ces notations va le dire et on va parler du thoré binomiale à quoi il sert ce théorème binomiale et ben il sert à exprimer a + b donc on a on a un binôme vu qu'on a deux termes c'est pour ça qu'on appelle ça le théorème binomiale et c'est ce binôme à la puissance d'un exposant n donc le théorème binomiale permet de calculer ce genre d'expressions rapidement alors pourquoi c'est utile bas imagine que tu avais à calculer alors a + b au carré ça c'est facile tu connais ton identité en art câble qui est facile à prouver à nouveau il suffit d'appliquer la double distributive it et en faisant a + b x a + b et on obtient à carrer + 2 ab plus becquart et donc ça c'est facile pas besoin du théorème binomiale pour ça maintenant a + b au cube bon en s'y mettant un petit peu on peut écrire ça comme étant a + b fois à +2 au carré c'est à dire à carrer + 2 à b + b carré et on peut développer cette expression centre difficulté ça fait un cube plus de zacard et b plus à foix becquart et plus belles fois à carrer plus b x 2 ab donc donc 2 ab carré plus bo cube et là on voit qu'il ya des termes qui sont les mêmes ici on a deux à carrer b et ici on a des akkar et donc c'est on a deux à carrer b plus une fois à carrer b et du coup ça ça nous donne ici comme terme 3 à carrer b donc d'abord j'avais mon terme à au cube est là il est tout seul donc je laisse donc ga au cul plus trois fois à carrer b + 3 x ab carré parce qu'on a une fois ici et deux fois ici donc plus 3 x ab carré plus bo cube ok là je suis arrivé à faire a + b au cube plutôt rapidement mais on voit qu'il y avait quand même un peu de travail à faire et imaginons qu'on veuille faire a + b puissance 4 o a + b puissance 10 alors là ça va être vraiment beaucoup de temps et ça va être assez ennuyeux à faire donc le traminot mialhe nous permettra de faire ce genre de calcul rapidement alors écrit vaut maintenant le tort à binomiale on va se débarrasser d'abord deux de ces quelques exemples pour libérer de l'espace voilà c'est fait alors maintenant écrivons le théorème binomiale allez allons droit au but comment est-ce qu'on calcule a + b à la puissance n donc c'est une formule qui va avoir l'air un peu compliqué mais ne t'inquiète pas je vais l'expliquer ensuite donc c'est une somme c'est une somme de haine plus un terme car on à lundi ce cas qui va progresser de 0 jusqu'à n et chaque terme à d'abord un coefficient un coefficient qui est devant et qui va être combinaison de cas parmi elles et ensuite on à a et b qui vont chacun être à une puissance et on va avoir acquis à la puissance est de moins qu a et b à la puissance qu'a est donc là tu remarques que la somme des exposants des deux exposants sera toujours égale à n donc chacun des mots nome qui va apparaître va être deux degrés n alors du coup à quoi ça ressemble à ça si on le développe ça ressemble à donc combinaison de 0 parmi n 2 à la puissance n x b à la puissance 0 donc combinaison de 0 parmi elles ça fait 1 et bien la puissance 0 ça fait 1 donc le premier terme il est toujours égale à à la puissance n le deuxième terme ça va être combinaison de 1 parmi n fois à à la puissance n - 1 x b à la puissance 1 est un parmi elles ça fait tout simplement end donc ensuite on ajoute deux parmi n à la puissance n moins deux fois bo carré etc jusqu'à ce qu'on arrive à à la puissance enfin elle n parmi elles ce qui fait donc 1 à la puissance 0 qui fait 1 et i know he s b puissance n donc voila ce dernier terme on commence par la puissance n on arrive à des puissances n et les termes intermédiaire ressemble à ça et à chaque fois pour savoir comment est ce qu'on écrit cas parmi elles des ben tu peux te référer à cette formule donc voilà ce fameux théorème binomiale convient d'écrire pour elle et un dentier naturelles dont ken peut être 012 ou n'importe quel entier positif et se termine au miel il a été découvert par les mathématiciens indien et perse du 10ème siècle et ensuite il a été généralisé pour n'importe quelle valeur de haine réel et éprouvée par isaac newton au xviie siècle alors que la peste était en train de ravager l'angleterre lui était en train de faire une retraite de deux années à la campagne dans un manoir et pendant cette retraite il a non seulement généralisée éprouver le théorème binomiale mais en plus il a inventé le calcul différentiel découvert la loi de la réputation universel et prouver que la lumière blanche est composé dé de toutes les couleurs de l'arc en ciel et il a fait tout ça avant l'âge de 25 ans donc chapeau ok maintenant qu'on a fait ce petit point histoire je te propose qu'on fasse une application du théorème binomiale pour n est égal à 4 c'est parti calculons a + b à la puissance 4 ça donne quoi ça d'un premier terme à la puissance 4 plus alors les coefficients je vais les écrire sous cette forme pour qu'on voit bien ce que ça donne donc un parmi quatre ça donne quoi ça donne factorielle 4 / factorielle trois fois factorielle un donc fois à au cube b ensuite plus factorielle 4 / factorielle de factorielle deux sas et combinaison de deux parmi elles deux parmi quatre fois à oka rêver aux quarts et plus factorielle 4 / factorielle un factorielle 3 à foix bo cube plus b puissance 4 ok parce qu'on sait que on aura un à la puissance 0 ici est un cadre parmi 4 qui fait qui fait un très bien donc maintenant terminons ce calcul en envoyant ce à quoi est égal chacune de ces expressions donc factorielle 4 c 4 x 3 x 2 x 1 et factures elles trois ces 3 x 2 x 1 donc on a 1 3 x 2 x 1 au du médiateur et aux démineurs qui vont s'annuler et il nous reste quatre donc le coefficient ici c'est 4 ce coefficient la c 4 x 3 x 2 / 2 / 2 donc en fait ici on a deux fois 2 4 et ici on a 4 x 3 x 2 x 4 x 3 x 2 / 4 donc lé 4 qui vont s'annuler en haut et en bas il va nous rester 3 x 2 du coup ce coefficient c'est trois fois 2 est égal à 6 fois à au carré bo carré et là on remarque qu'on a un effet de symétrie entre ce coefficient là et ce coefficient là on a le même numérateur et ici au lieu d'avoir factorielle trois fois factorielle un honda factorielle un facteur elle trône c'est exactement la même chose et on obtient encore un coefficient de 4 x ab au cube plus dé puissance 4 alors voilà une application du théorème binomiale qui fait que tu peux peut-être un peu mieux comprendre là il y avait un indice cac et 1 n donc on avait une expression littérale peut être un peu compliqué à comprendre avec une application on a remplacé n par un nombre ici peut-être que tu as une meilleure idée de ce à quoi ressemble l'expression développer de a + b à la puissance m donc là quelques remarques à plus belle à puissance 4 qu'est ce qu'on a obtenu au final chaque terme progresse de cette manière regarde les à la et la puissance de à on commence avec à puissance 4 et ensuite ça fait la puissance 3 ha au carré à est finalement rien parce qu'on a à puissance 0 tu peux imaginer ici et b il fait le chemin inverse il parle il part de b puissance 0 ensuite ici on a b b au carré bo cube des puissances 4 oh quelle que soit aide la honda n égale à 4 mais quelle que soit l on va avoir ce genre de progression pour les exposants 2a et 2b et finalement les coefficients donc là on allait coefficient 1 4 6 4 et 1 cette symétrie autour d'eux une ou deux valeurs centrales ça dépend si lé père ou un père mais cette symétrie autour de 6 ici on a 1 4 et après on a 4 1 ça aussi c'est une propriété du théorème binomiale et dans les prochaines vidéos donc on va davantage explique cette propriété on va expliquer pourquoi le théorème binomiale marche mais dans cette vidéo l'essentiel c'est déjà de bien maîtriser ses notations de combinaisons de cas parmi n de sigma de comprendre la formule théorème binomiale est de savoir l'appliquer pour n est égal à un nombre entier naturel