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Espérance mathématique dans le cas de la loi binomiale

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va faire le lien entre deux choses très importantes qu'on a vu dans les vidéos précédentes la première c on va parler d'une d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale et puis la deuxième chose c'est que l'on va reparler de l'espérance mathématique on avez un produit déjà cette fonction à l'espérance mathématique et on avait dit que c'était en quelque sorte une moyenne de la population la différence avec la moyenne c'est que la moyenne on peut le calculer quand on a un terme à un nombre de termes fini mais m dans le cas d'une variable aléatoire puisque c est en général une expérience qu'on peut renouveler une infinité de fantômes autant de fois qu'on veut on risque d'avoir une infinité de terme donc on peut pas calculer la moyenne de la manière normale et donc ce qu'on faisait c'était calculé au lieu de calculer une somme de terme pondéré par leur effectif est divisé par le nombre de termes totale on faisait avant qu'on faisait nous sommes des valeurs possibles de la variable pondérée par leur probabilité voilà c'était comme ça qu'on avait défini la main l'espérance mathématique d'une variable aléatoire alors là ce qu'on va faire assez pour cent à me prendre une variable aléatoire qui suit une loi binomiale donc pu me paraît aléatoire grand tic se qui suit une loi binomiale donc deux paramètres nv pays là elle là-bas la modélisation classique pour ça et général un c'est de se dire que on a une expérience qu'on va renouveler et une fois et que l'achat question de probabilité p de réussir cette expérience et donc une probabilité de temps - p de la rater alors pour parler plus précisément la variable fixée en fait c'est le nombre 2 succés de succès de probabilités pays de probabilité et donc ça c'est la probabilité d'un succès pour m en peine et séance ban nbc donc c'est dire que mensah on l'avait vu ça avec les pièces de monnaie par exemple on peut lancer une pièce de monnaie eine fois et considérer que le succès c'est d'obtenir face donc on peut regarder le nombre de succès qu'on a eu c'est-à-dire le nombre de fois où on a une face congo nscc la probabilité dans ce cas l'assiette et c'est pas truqué ça sera de 0 2005 alors je vais donner tout de suite elle de la réponse à notre vidéo c'est-à-dire jouer tout de suite donné là l'espérance mathématique d'une maria blog tic ce qui suit une loi binomiale de paramètres elle n'est payé et bien cette espérance mathématiques c'est assez intuitif en fait c'est haine à la seyne nombre le nombre d'essais total avec la probabilité de chaque succès alors bon pour fixer les idées je vais quand même donné un petit thé exemple on va se dire que l'on a déjà fait cet exemple-là et aussi fixer le nombre de penalty marqué de penalty marqué andy cesser quand je disais c avec une probabilité de ils ont 40 % de succès à chaque fois et bien dans ce cas-là la problème est étrange de cette variable là l'espérance de la marine variable tic ce que je viens de définir et bien ça va être le nombre d'essais c'est-à-dire 10 toutefois la probabilité de chaque succès donc parfois zéro virgule 4 et 6 40% c'est-à-dire qu'après ça veut dire que en moyenne si on me disait c'est que je peux espérer en mars marqué quatre buts alors bon maintenant on va rentrer dans quelque chose d'un peu plus technique enset pas présent à ce qui ce dont il faut se souvenir c'est ça on sait l'espérance de la variable aléatoire x qui suit une voie bien de paramètres et les pays-bas c'est tout simplement une fois percé c'est ça qu'il faut qu'il retienne maintenant on va travailler un peu pour ouattara et d'une baissé de démontrer pourquoi ces effectivement comme ça rend donc aussi être un peu plus technique et en particulier pour ce qui est intéressant c'est que on va manipuler pas mal les symboles de sommation avec la lettre sidnaaba qu'on a déjà vu plusieurs fois alors bon je vais commencer parce que je sais c'est-à-dire que % on a déjà fait dans les autres vidéos on avait calculé la probabilité que la variable d extrême une valeur 40 à dire en fête mon cas ici plus petit que l on fait notre notre expérience et une fois et pour ça on va regarder la probabilité que on nous d'avoir obtenu 15 fois un succès en bande organisée c cette probabilité on avait calculé on va le refaire ici assez rapidement on avait dit que d'abord il fallait regarder de combien de manière différente on pouvait réaliser qu'un succès parmi les mcc donc ça on a vu que c'était le nombre de combinaisons de quatre éléments par mitchell m et ensuite on avait égalé lq la probabilité de chacune digne de saisie sur on n'avait qu'à succès alors avoir qu'un succès c'est si on n'a pas un succès c'est une probabilité pays si on a deux succès comme tous les essais sont indépendants les uns des autres si on a deux succès on a une probabilité de paix pour le premier point p pour le deuxième groupe au carré sur notre succès on a une probabilité de paix au cube et ainsi de suite donc si on a k succés on a une probabilité de payer fois qu'apple pays puissants ce cas par cas et puis ensuite il faut compléter complétée par là la probabilité de rater les ai tous les autres et c'est un peu donc la probabilité de rater déjà c'est le contraire raté l'événement devait rater mon expérience c'est le contraire de l'événement j'ai réussi mon expérience donc la probabilité de rater ses trains donc ça on m'a raté tous les autres zep session masseca être cas et c'est parmi les haines en fait il en reste n - k donc il faut élever la probabilité de rater à la puissance et -4 alors ça c'est la probabilité on l'avait vu dans les autres dans d'autres vidéos c'est la probabilité de réussir qu'un succès savoir qu'un succès antenne essai chaque succès ayant une probabilité alors maintenant on va revenir à la définition de l'espérance mathématique l'espérance mathématique on avait dit que c'était je l'aï dit tout à l'heure c'est la somme des valeurs de la variable pondéré par après la probabilité de chaque valeur donc elle c est en fête une somme alors je vais l'écrire comme ça la somme qui va bien pour cas qui va de zéro jusqu'à toutes les barrières post toutes les valeurs possibles de notre mariane c soit je pourrais je rate tous les adultes lisent tous les essais donc les héros succès soit je peux avoir un succès trop de succès et trois succès et quatre succès cinq succès jusqu'à eine succès puisque je fais nsc il va j'ai une somme finalement qui va avoir à peine plus un terme à sa va partir de zéro et ça va aller jusqu à peine et puis ensuite je vais ni prendre la valeur de la variable donc k multipliez par a la probabilité de cette variante de cette variable donc la probabilité clic soit égal car alors ça pouvoir le réécrire en remplaçant celle de cet élément la probité publique que l'iq sotéga l'accaparent salle son expression ici donc c'est la somme qui pour caen qui va de 0 à 10 4 m de cas fois alors que le nombre de combinaisons de klm en parler m me frotter puissance car fois à moins de payer puissance n alors on va manipuler cette expression la première chose qu'on peut voir c'est que oui pour caen égal à zéro en fait on a ici zéro faute quelque chose donc elle seule le premier terme en fait pour qu'un gala 0 va être nul donc la menthe l'ignoré en fait écrire quand même pour tous soit plus claire le secteur 7% et cette notation et écriture là ça veut dire que je prends d'abord qu'à égal à zéro alors j'ai zéro fois le nombre de combinaisons de 0 éléments parmi les thèmes frottez puissant 0 fois un moins payés puissance et - 0 plus ensuite j'ajoute le terme le ce terme la mairie kaya lapin donc 1 le moment m le nombre de combinaisons de teintes éléments parmi lesquelles m côté puissance quand même fois 1-1 les puissances el menzah plus cher le terme de rang 2 c'est-à-dire pour que la galette de donc fois le nombre de combinaisons de deux éléments parmi elles frotter au carré 1- payer puissance et moins de deux plus et ainsi de suite en fait j'ajoute tous les pères à chaque fois je je change j'augmente la valeur de ce cadre et le dernier terme c'est pourquoi égal à peine donc c'est quand même le nombre de combinaisons de m éléments parmi lesquels côté puissance haine fois 1-1 t puissance m - c je fais un peu de place du coup ce que je disais tout à l'heure c'est que pour lui ce terme si ici on a zéro fois quelque chose alors homme quelque soit la valeur de de ces deux de ce produit ici de tous ces trois termes finalement le produit total sera nulle en plus quand on multiplie par zéro donc ça ces termes-là on peut ignorer et du coup je vais pouvoir écrire mon espérance mathématiques en ignorant ce terme à ces accusés le réécrire comme ça mais en commençant par le terme pour cailletet gala on a donc je vais avoir une somme pour caen qui va cette fois-ci de pain puisqu'à peine plus qu'on a supprimer il n'y aurait que ce terme-là qui est nulle fois le nombre de combinaisons de tels éléments parmi les thèmes poitiers puissance car fois aof - kepler puissance n - k bon on a honte la seule chose qui me vient l'idée c'est de les exprimer c'est le nombre de combinaisons de quels éléments parmi elles avec la formule qu'on connaît alors je vais le faire donc ça va être la somme qui va à 2 on est jusqu'à m alors qu'ici lüthi pied de ce nombre la cei eine factorielle diviser par factorielle fois n - k factory ça on va parler donc dans de nombreuses vidéos ensuite je vais multiplié par des puissances car fois 1- peter puissance m - k alors maintenant ce que je peux faire c'est simplifier ce terme-là parce que ici j'ai cas il visé par quatre acteurs yelle et en fait si j car factorielle si l'on regarde ce que c'est c'est qu'à fois que ca - osq fois qu'à moins de deux foire et ainsi de suite jusqu'à foix 2 fois mais en fait cette partie de la laïcité à moins de vingt fois qu'à moins de jusqu'à fois deux fois un sas et camrose ans factoriel il faut donc signalement quand je fais car diviser par quatre à tauriel en fête mais je peux certifier par karim donc là je vais pas écrire alors j'ai un petit peu vite ainsi tuerie si tu as des doutes tu peux mettre la vie de se reposer avant de reprendre les choses un peu plus lentement par toi-même en tout cas là les réécrire cette somme là mais en faisant cette simplification en disant que qu'à diviser par quatre acteurs yelle danser un sûr car -20 factorielle non plus la réécrire c'est la somme pour que la qia 2 enfin jusqu'à m 2 alors du coup j'ai au numérateur géhenne factorielle fois ici car certains facteurs et elisa me rester ca - 5 factorielle d'après ce que je viens de voir ici haine - k factor hier et ensuite je vais multipliez par p puissance cas nantes - puissance n - k alors qu'il est bon comme ce qu'on veut montrer nous c'est que cette espérance mathématiques c'est égal à peine fois payé en fait trop rare ici dans cette expression-là je vais essayer de factoriser n le produit mp ont donc lu écrire ici ce qu'on entreprend de faire pour toi se tromper pour 100 m donc j'ai dit que j'allais factoriser eine fois p alors je vais le mettre en facteur ici eine fois payé et puis d'ici je verrai écrire mon symbole de sommation pour lassina somme qui va de kayes gala allant jusqu à peine alors ici m j'ai pas de haine factoriel puisque j'ai factoriser m donc elle a en fait eu l'âme rester elle -5 factoriel ici donc lui qui aime moins cinq ans historien et leur ça si tu veux t'en convaincre ses acteurs un autre chose que tout à l'heure quand j'écris eine factorielle c'est en fait c m fois haine - zain fois eine moins de foire ainsi de suite jusqu'à foix 2 fois 1 donc ça cette partie lasser n - 2 ans factoriel donc finalement elle factorielle c'était gala m eine -5 facteur hier du coup quand le factory semaine le reste est néanmoins un facteur hier ensuite donc je me disais ça à part ca - 5 tracteurs et elle a rien ne change muet et puis ici haine - k factor hier ensuite mais je verrai écrire ça mais simplement j'ai factoriser pédoncule l'aja vp puissance cas ici ne restez plus en ce cas - 5 puisque des fois que les puissances kermoysan ça fait bien p puissance 4 et ensuite je multiplie par trois au moins payer puissance n là on a avancé un petit peu le truc c'est que ça a l'air quand même très compliqué puisque nous ce qu'on voulait c'était montrer que delitte ctt gala peine feu m et une fois payés donc il faut maintenant qu'on arrive à montrer que toute cette somme qui est ici cette somme là elle était galapagos ça s'appellera si simple que ça alors là pour ça on a à z et techniques ins et les plusieurs types de techniques qu'on m'utilisait de temps en temps et là on va utiliser une pièce est fréquente ce qui va être là qui va bien marcher faire des changements de paris en fait on va noutnoute différemment de variables je vais commencer par dire que l'aja à part prendre donner un nom à une variable que je vais appeler à la et qui va être en fait égal à caen - 5 donc ça va être égal à ce terme si ce qui est ici et puis je vais prendre une autre variable qui va être payé et que je veux dire que ce baissé m - 5 donc c'est ce terme qui est là alors du coup je ne peux exprimer ici donc je vais je vais arriver à exprimer ce terme-là et ce terme-là en fonction de la parité et puis maintenant j'essaie d'exprimer ces termes là aussi en fonction de leurs idées ça sera assez pratique parce que là du coup si j'exprime en fonction de la lnb ça aussi en fonction de la baie et ça en fonction de l'arrivée et bien j'en rêvais pour m toute ma m'assomme va être exprimée en fonction de ces deux nouvelles variables à aider comment est-ce que je peux faire pour exprimer c'est le pen - cas en fonction de la ville d'angers finalement je peux décider a été égal à 15-20 je peux dire que le cas c'est gallas à + 3 et puis là de la même manière je peux dire que m c'est égal à des plus fins ton finalement tu peux écrire que peine - k baisser plus fin - car donc moins plus printemps - zenke on l'avait parenthèses taux qui a plus à 5-5 xl simplifie et donc finalement je trouve que témoin cassé alors maintenant le le la tâche avec de réécrire cette somme là % en fonction de nos barrières de ne pas éluder de nouvelles variables à aider donc je vais le faire je vais écrire depuis que sept alors c'était gala mp np et puis maintenant je vais prendre alors la somme alors si caen comment ça arcand est égal à papa était gala au moins un an donc a été égal à zéro donc le prendre femme qui va pour traquer laden ces rôles jusqu'à peine alors qu'en tête égal à peine avec régal à peine moins fort mais mon agent m'a dit que c'était des hommes impliqués donc en fait la somme pour kayes qui va de pair jusqu à l maintenant ça devient la somme toute pour acquis va de zéro jusqu'à et puis ensuite je verrai créer à l'intérieur de tous les pays tous les termes en fonction de nos de novaïa bébé donc pour moi un facteur est elle décédée facteur réel divisez par camoin 20 factorielle qu'à moi un facteur est assez à la fac temps réel un facteur réel et puis en dessous et puis de ce terme la haine - ca factoriel bcb - zara b - za factory ensuite j'ai p puissance qu'à moins de 20 p puis sens qu'à moins d'un mois c'est tout simplement et puis s'en sert pas ce cas moi j'en étais gala fois néanmoins payer puissance m - karel - carmat dit que c'était des moindres a donc finalement je multiplie par 3 - p puissance b - zahar alors on n'a pas mal avancé je vais continuer à remonter un petit peu ou encore une fois si je vais je lâche un petit peu vite parce que c'est ces longs et j'ai pas beaucoup de temps tu peux arrêter à n'importe quel moment reprendre les choses plus doucement avec une la croix rouge alors donc la geste toujours certaines fois payé et puis ici je vais écrire la somme ce que je veux je peux voir tout de suite c'est que ce terme-là je vais donc leur grand retour et en rangée ce terme la baie factorielle sera factorielle fois b - st factorielle de en fait c le nombre de combinaisons 2 allez l'helmand ça c'est déjà pas mal et puis j'ai ensuite d'une puissance rare fois au moins puissance des -5 voilà on va quand même là beaucoup simplifié notre expression et ce qui est très intéressant c'est que l'ado on peut voir ça de plusieurs manières mais on peut déjà de se dire que ça c'est la probabilité je peux décrire comme simple invités la somme pourquoi qui va de 0 à 10 cadets ce qui hélas à l'intérieur c'est la probabilité puis variable des directives qui suit une loi binomiale il soit égale à la où il y tient je dirais que c'est une loi binomiale une loi binomiale deux paramètres puisque dans ce cas là on a vu que la probabilité de de de laval que la variabilité avec soit égal à pas et bien ça va être le nombre de combinaisons de l'allemand par me guider et multipliez par pays puissant ça si la première probabilité d'un succès c'est pays l'équipe qui est parfois moins payés puissance des -5 on a vu que c'était sa l'expression de la probabilité que la variable il y soit égale sion si on regarde ça tel que ses aînés enfaite cette partie là c'est la somme de toutes les possibilités en fait puisque la variable y tient elle prend la valeur zéro à peu prend la valeur un peu prend de la valeur de l peu prend de la valeur 3 de prendre leur carte jusqu'à la valeur d donc finalement là on fait la somme de toutes les probabilités donc bon on est en marche on a en fait l'événement certains ont donc cette somme là elle était gala tout peut voir ça avant tout entier grafika ici si les faits ce graphique là pour la valeur à zéro je vais avoir quand même un autre bâton comme ça pour la valeur 1 je vais avoir un bâton comme ça pour la valeur de je vois pas trop comme ça pour la valeur 3 alors bâton comme ça et ainsi de suite en fait je vais avoir une sortie de courbe en cloche et ce que je fais quand je fais cette somme là eh bien je fais je j'additionne tous les tous les rectangles et en fait je recouvre toutes les possibilités donc finalement cette surface-là la surface que je calcule en additionnant l'air de tous ces rectangles ça fait forcément donc ça cette partie-là c'était gala alors une autre façon de voir c'est que à partir de sarlat cette expression-là ampleur connaître la formule du binôme de newton et en fait ça fait rien d'autre que alors je vais même décroché plus tôt plus 1- payer à l'appui s'est élevé à la puissance d si on développe cette expression-là on peut l'exprimer comme ça avec la formule du binôme de newton et donc beissat s'est payé +1- pays et donc ses parrains puissance d donc c'est rare et donc finalement ben ça je peux le faire payet ccsl on est un petit peu le laborieux peut-être sur le plan du calcul mais finalement on arrive effectivement à démontrer ce qu'on voulait c'est-à-dire que l'espérance une variable aléatoire x qui suit une loi binomiale de paramètres n été et bien c'est cannes ward est engagée à reprendre cette démonstration à tête reposée et plus calmement que je les félicite