Probabilité d'avoir le même anniversaire

alors on m'a posé une question que j'ai trouvé intéressante et quelques jours donc je pense que je voudrais faire c'est essayer de la traiter alors le problème c'est qu'on a un groupe de 30 personnes un groupe de 30 personnes et le problème qu'on va se poser c'est d'essayer de calculer la probabilité que au moins deux personnes au moins deux personnes de ce groupe soit né le même jour et le mail et la même date d'anniversaire un donc je vais le dire comme ça que deux personnes au moins soit né le même jour le même jour alors par exemple on peut se dire que l'on regarde dans une classe et on va regarder la probabilité qu'il ya au moins deux élèves de cette classe qui qu'ils sont mais le même jour qui ont la même date d'anniversaire je parle de dates d'anniversaire sans parler de l'année r je parle juste du jour dans l'année par exemple est ce que il ya au moins deux personnes qui sont nées le train de 3 avril ou deux personnes qui sont nés le 12 octobre voilà alors bon ça on peut déjà exprimé d'une manière un petit peu différente c'est on va se demander finalement quelle est la probabilité que une personne partage sa date d'anniversaire partage sa date d'anniversaire avec au moins une autre personne avec une autre personne au moins voilà ça c'est exactement le même énoncé 1 alors ça c'est vraiment typiquement le genre de problème de probabilité ou pour lequel il faut bien réfléchir au départ avant de se lancer dans une solution quelconque parce que là il peut y avoir ça peut être très compliqué comme ça peut être très simple si on trouve la manière de bien formulé le problème alors effectivement là ici si on se dit une personne partage sa date d'anniversaire avec une autre personne au moins ça veut dire qu'elle peut partager sa date d'anniversaire avec une personne ou bien avec deux personnes ou et trois personnes ou avec 5,4 personne enfin jusqu'à elle peut partager sa date d'anniversaire avec 29 personnes donc ça devient très compliqué parce qu'après il faut additionner toutes les probabilités enfin ça devient vraiment quelque chose de compliqué à faire donc il faut vraiment essayer avant tout de retrouver la bonne formulation de ce problème alors pour faire ça il ya quelque chose qui est vraiment un bon très bon réflexe c'est d'aller faire des petits dessins 2d diagramme de venn comme on m'a déjà fait dans plusieurs vidéos alors là je vais représenter d'abord l'univers des possibles par exemple ça c'est l'univers des possibilités donc c'est en fait le les trente personnes du groupe et puis je les dessine est ici par exemple comme ça l'ensemble des personnes dont un sous ensemble de l'univers l'ensemble des personnes qui partagent leur date d'anniversaire avec une autre personne au moins donc voilà je refaire un peu mieux voilà donc ça ici je vais le assuré comme ça ça c'est l'ensemble des personnes qui partagent leur date d'anniversaire avec une autre personne au moins alors cet ensemble là ici je vais l'appeler m c'est pour dire même date un c'est ceux qui partagent leur date d'anniversaire donc qui ont la même date d'anniversaire qu'un autre qu'une autre personne au moins alors maintenant du coup ce qui est ici là qu'est ce que c'est ce qui est ici ben c'est le le complémentaire de cet ensemble la de l'ensemble des gens qui ont qui partagent leur date d'anniversaire avec une autre personne au moins donc c'est le contraire de l'événement partager sa date d'anniversaire avec une autre personne au moins donc ça c'est ceux qui ont une date différente de tous les autres donc je vais l'appeler comme ça des différentes dates différentes donc ça c'est l'ensemble des gens qui ne partagent leur date d'anniversaire avec personne d'autre voilà alors lorsqu'il sûr c'est que ce qu'on peut écrire c'est que dès lors je vais respecter les couleurs m l'événement m et l'événement dé ce sont des événements contraires ce sont des événements contraires et donc ce qu'on sait c'est que dans ce cas là dans le cas d'événements contraires la probable probabilité des deux événements la somme de la probabilité des deux événements ça doit faire un don quand d'autres termes on ma on sait que la probabilité de je vais l'écrire comme ça en respectant les couleurs la probabilité de m plus la probabilité de d la probabilité de d eh bien ça ça fait 1 ça c'est le ski et le plus important pour l'instant pour nous parce que ça ça va nous permettre finalement d'exprimer la probabilité qu'on cherche c'est à dire c'est la probabilité de m qu'on cherche en fonction de la probabilité de des donc on va plutôt essayer maintenant de calculer la probabilité de l'événement dé je vais préciser c'est un petit peu donc je remonte ici ce qu'on sait c'est que du coup la probabilité de m la probabilité de haine c'est un - la probabilité de d donc maintenant effectivement on va essayer de calculer la probabilité de d donc la probabilité qu'une personne soit né un jour différent de tous les autres membres du groupe pour clarifier à je vais écrire ici ce que c'est que l'événement dé ces personnes ne partage sa date d'anniversaire avec un autre sa date d'anniversaire sa date avec un autre voile annoncé sa date d'anniversaire ça veut dire tout simplement que c'est l'événement il n'y a pas deux personnes qui ont le même anniversaire dans le groupe de 30 personnes qu'on a alors bon si on voit pas très bien ce qui se passe on sait très très utile de faire des gardes et là on a un groupe de traîtres de 30 personnes c'est beaucoup on peut commencer par faire des exemples avec un groupe plus petit alors par exemple on va prendre un groupe de deux personnes pour voir un peu mieux ce qui se passe donc si on sait le cas où on prend n égale 2 donc deux personnes et on va calculer la probabilité que personne dans ce groupe de deux personnes de partage ne partage sa date d'anniversaire avec un autre alors comme il ya deux personnes il faut que on va choisir la date d'anniversaire du premier et puis on aura du coup un jour de moins pour choisir l'année milani vers la date d'anniversaire de la deuxième personne alors on va le faire ici la première personne l'appeler comme ça hein je peux choisir sa date d'anniversaire donc comme on va prendre une année de 365 jours ici j'ai 365 possibilité donc la probabilité ici c'est 365 sur trois 165 ce qui correspond au choix au fait que les sept personnes là à une date d'anniversaire tout à fait normal alors maintenant par contre quand je prends la deuxième personne est bien il faut pas qu'elle soit née le même jour que la première donc j'ai plus que il faut que j'enlève une date à une date parmi les 365 donc j'ai 364 c'est-à-dire 365 -1 possibilité donc finalement ici la probabilité ses 364 sur 365 alors deux ça je peux déduire la probabilité de l'événement dé dans ce cas là c'est 365 sur 365 c'est le produit de ces deux probabilité x 364 sur 365 mais bon ça je peux simplifiée puisque effectivement ça 365 diviser par 365 ça fait 1 donc finalement la probabilité de l'événement dé ses 364 sur 365 voilà alors je vais continuer à faire des exemples je vais prendre par exemple maintenant un groupe de trois personnes trois personnes alors la première personne j'ai toujours je choisi sa date d'anniversaire donc j'ai 365 possibilité sur les 365 pour la deuxième personne j'ai 364 sur 365 puisque je ne peux pas être puisque cette personne là ne peut pas être née le même jour que celle d'avant que la première et puis la troisième personne ben là il faut que j'enlève deux jours puisqu'elle ne cette troisième personne ne peut pas être née le même jour que la première ni le même jour que la deuxième donc là j'ai trois cent soixante trois possibilités seulement sur les 365 jours de l'année voilà donc la probabilité de l'événement dé dans ce cas là ça va être 365 sur 365 fois 364 sur 365 fois 363 sur 360 5 voilà alors bon je vais on peut simplifier encore évidemment ça super en tenant compte du fait que ça c'est égal à un mail à ce que je vais faire c'est réécrire les choses différemment pour que l'on puisse voir un motif qui se dégage ici j'ai 365 fois 364 sur 365 au carré 3 165 x 365 au dénominateur hélas ici je vais avoir 365 fois 364 x 363 le tout divisé par alors le dénominateur ça sera toi 165 x 365 fois 3,60 365 pardon donc c'est à dire 365 puissance 3 alors là peut-être que tu as déjà vu ce qui se passe peut-être que tu peux déjà avoir la formule en fait le motif qui se dégage ici si c'est pas le cas tu peux continuer à faire quelques exemples avec un égal quatre personnes égales n égale cinq personnes et enfin voilà ce qui va se passer c'est que alors je fais un peu de place pour n pourtant n égale 30 personnes on va le faire ici directement alors quand on a deux personnes ici on a deux termes c'est le début de l 2 365 factorielle avec deux termes et puis on à 365 puissance 2 quand on a trois personnes on a trois terme ici les trois premiers termes de 365 factorielle et onu au dénominateur on à 365 puissance 3 donc on peut voir que quand on aura trente personnes on va trouver que la probabilité de d ça va être le début de 365 factorielle mais avec 30 terme 365 fois 364 x alors 365 -30 ça va faire 335 mais là si je fais ça je vais content et je vais avoir 30 je vais avoir 31 31 terme donc ici c'est 336 tu peux compter 1 combien ça fait terme live ici on a trente terme prendre terme voilà et puis il faut diviser sa part 365 puissance 30 voilà alors bon si tu es pas convaincu je te dis tu tu fais quelques exemples intermédiaire avec un égal 4 n égale 5 et ainsi de suite jusqu'à ce que tu es compris à ce qui se passe ici alors maintenant bon c'est ça y est on a répondu à la question pourrait très bien calculé ça mais ça serait ça c'est vraiment un terme très gros donc ça serait très compliqué déjà ce serait assez longue avec d'écrire ça avec la calculatrice un rien que ce produit là qui est au numérateur 300 sosies à 30 terme donc c'est assez long à calculer avec m avec la calculatrice donc question intéressante ça serait d'essayer de décrire ça différemment en termes un peu plus simple alors comment est ce qu'on peut faire ça on a déjà vu plusieurs fois ce genre de choses ici comment est-ce qu'on peut écrire cette partie là là ce qui est au numérateur à chaque fois donc celle là un qui nous intéresse plus particulièrement en fait avec 30 personnes alors pour faire ça on peut commencer par se dire bon je l' ai dit tout à l'heure un petit peu en parlant c'est le début de 365 factorielle alors qu'est ce que c'est que 365 factorielle exactement 365 factorielle c'est le produit de tous les nombres inférieurs ou égaux à 365 pour les nombres entiers inférieur ou égal à 3 165 donc c'est 365 fois 364 x 360 trois fois ainsi de suite jusqu'à fois un multiplient tous les nombres entiers qui sont inférieurs ou égaux à 365 alors quand je prends ça 365 fois 364 ce qui s'est passé c'est que gg je me suis débarrassé de tout ça là de tout ce qui est ici un tout ce qui est ici donc si je divise par sa 360 3 x 3 162 jusqu'à jusqu'à x 1 et bien en fait ça c'est 363 factorielle donc quand j'écris 365 fois 364 en fait j'écris tout simplement 365 factorielle sur 363 factorielle voilà c'est exactement ce que je fais ici donc voilà j'ai exprimé 365 fois 364 en termes de factorielle sommes évidemment bon pour ce terme là c'est pas très intéressant c'est beaucoup plus simple de calculer directement ça que ça mais tu vas voir que l'intérêt est beaucoup plus grand quand on marque quand on va arriver à nos trente personnes par exemple où un nombre grandes personnes alors je peux même aller un petit peu plus loin parce que d'où sort ce 363 ici j'ai deux termes et donc il fallait que je suppose que je divise par 365 enfin parle factorielle qui commence deux termes plus bas donc 363 factorielle alors en fait je vais leur écrire comme ça comme 365 factorielle sur 365 -2 factorielle voilà alors de la même manière je remonte un petit peu encore de la même manière quand on a trois personnes en fait j'ai 365 c'est toujours 365 factorielle c'est toujours la même chose c'est 365 fois 364 x 360 3 x 3 162 et ainsi de suite jusqu'à x 1 hélas ce que je peux voir c'est que moi quand j'ai monde mais trois personnes en fait c'est cette partie là qui m'intéressent en 365 fois 364 x 360 3 donc je vais devoir me débarrasser de ça et ça c'est 360 2 factorielle c'est parti là donc finalement ce qui m'intéresse c'est à dire ce nombre-là 365 fois 364 x 360 3 et bien c'est 365 factorielle / 360,2 factorielle puisque je dis je divise par 300 65 par 360 2 factorielle pardon il me reste plus que ses trois premiers terme et là je peux leur écrire aussi en faisant intervenir cette différence ici en fait je voulais les trois premiers termes de 365 factorielle donc il faut que 10 par quelque chose qui commencent trois termes plus bas donc je vais réécrire ça comme ça 365 factorielle sur 365 -3 factorielle voilà alors ça si tu es pas convaincu tu peux comme tout à l'heure continuer à faire des exemples avec n égale qu'après n'égale 5 et ainsi de suite jusqu'à ce que tu comprennes mais là ce qu'on peut tout de suite le voir un ici quand je vais avoir 365 factorielle donc ça va je vais pouvoir le réécrire comme ça 365 fois 364 pardon j'ai écrit deux fois le psig multiplier fois 364 fois jusqu'à toutefois 3 136 x 335 je fais exprès de faire apparaître ce 336 pour qu'on voie ce numérateur qui apparaît x 335 donc fois 334 et ainsi de suite jusqu'à fois hein ça ici ce que j'ai là c'est 335 factorielle donc quand je veux mon numérateur qui est ici je vais le réécrire la 365 fois jusqu'à x 330 6 et bien c'est tout simplement 365 factorielle / 335 factorielle voilà et ça je vais les réécrire comme tout à l'heure comme 365 factorielle diviser par 365 -30 factorielle puisque ce que je voulais c'est les 30 premiers termes de 365 factorielle voilà alors là on a presque terminé parce que je reviens un petit peu en haut ici notre probabilité c'était la probabilité de décès tu es 365 fois 364 jusqu'à foix 336 diviser par 365 puissance 30 donc là je vais pouvoir le faire je vais le faire en jaune la probabilité de d du coup c'était alors 365 factorielle diviser par 365 -30 factorielle c'est mon numérateur qui est ici donc je vais écrire ça comme ça 360 je vais l'écrire en jaune orange je respecte et les couleurs c'est 365 factorielle sur 365 -30 factorielle le tout divisé par par 300 365 puissance 30 voilà alors je vais leur écrire un petit peu mieux en simplifiant cette expression là et en réécrivant les numérateur et les deux hommes dénominateur comme il faut donc j'ai 365 factorielle le tout diviser par 365 -30 factorielle ces 335 factorielle fois ça c'est toujours au dénominateur x 365 puissance 30 voilà alors là j'ai une expression quand même beaucoup plus condensé de ma probabilité de l'événement des impasses que ce sera beaucoup plus pratique à calculer puisque dans les calculatrices on a la fonction factorielle donc je vais le faire là maintenant je vais prendre la calculatrice alors on doit faire 365 factorielle alors je m'occupe pas des résultats intermédiaires pour l'instant / 335 factorielle et puis ensuite je dois diviser encore par 3 365 puissance 30 donc diviser par 365 puissance 30 voilà et j'obtiens ce nombre là alors fait l'arrondir à quatre chiffres après la virgule donc ça me fait 0,29 37 donc ça c'est 0,29 37 voilà ça fait environ du coup bon c'est un proxy sinan valeur arrondi 1 donc ça fait environ 29,37 % donc pas loin de prendre pour cent donc une probabilité de près de 30% que personne ne partagent la même date d'anniversaire avec quelqu'un d'autre dans ce groupe de 30 personnes alors voilà on a fait le gros du boulot mais il faut pas oublier la question qui est quand vous avez posé au départ est ce qu'on me demandait au début elle fait remonter tout en haut pour qu'on voit bien c'est la probabilité qu'au moins deux personnes soient nés le même jour on m'avait fait tout un travail en avez vu que finalement la probabilité que une personne partage sa date d'anniversaire avec une autre personne au moins c'était le contraire de ce qu'on vient de chercher donc le contraire de la probabilité que personne ne soit née le même jour que quelqu'un d'autre dans le groupe de 30 personnes donc nous notre réponse c'est pas ça la réponse qu'on doit qu'on doit donner c'est la probabilité de l'événement mm qui était le contraire de l'événement dé donc c'est un - la probabilité de décès ce qu'on avait vu tout à l'heure et donc c'est un moins 0,29 37 on aurait pu faire ça en pourcentage on aurait pu dire que c'est 100 % - 29 37 % donc là je vais le faire alors 1 - 0,29 37 ce qui me donne 60 0.70 63 donc ça c'est une valeur rare on dit toujours un donc ça fait à peu près 70 pour cent soixante dix 63% donc il ya une probabilité d'à peu près 70 % qu'au moins deux personnes dans ce groupe de 30 et la même date d'anniversaire voilà donc c'est un problème assez intéressant est ce qui est le résultat est assez étonnant quand même puisque c'est une probabilité assez élevé que deux personnes au moins partagent la même date d'anniversaire dans un groupe de 30 personnes voilà à bientôt pour la prochaine vidéo