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Obtenir exactement 3 faces en lançant 5 fois une pièce

Transcription de la vidéo

alors on va continuer à étudier notre pièce non truquées donc on va prendre une pièce de monnaie non truquées et puis cette fois ci on va la lancer 5 fois donc faire cinq lancers de cette pièce cinq lancers voilà maintenant ce qu'on va essayer de faire c'est de calculer la probabilité d'obtenir exactement trois fois face donc enfin calculer cette probabilité là la probabilité que au cours de nos cinq lancers on obtienne exactement trois fois face la pièce retombe trois fois du côté fasse exactement trois fois alors pour faire sa bar on va déjà commencer à se demander combien il ya de résultat possible alors comme la pièce et nos trucs et tous les résultats ont la même probabilité donc ce sont des résultats equi probable alors pour calculer le nombre de résultats possibles mais on va d'abord regarder ce qui se passe pour le premier morceau alors je vais le faire je dessine et comme ça ça s'est le premier lancé il ya deux possibilités c'est pile ou face et c'est exactement la même chose à chaque lancer en fait donc au deuxième lancer j'ai encore deux possibilités au troisième j'ai encore deux possibilités au quatrième encore 2 et puis au cinquième encore deux à chaque fois c'est pile ou face et puis comme les lancers sont complètement indépendants les uns des autres finalement le nombre de résultats possibles c'est le produit de toutes ces possibilités donc ces 2 x 2 x 2 x 2 x 2 on peut dire aussi dire depuis 105 puisqu'il ya cinq lancers et donc ça ça veut dire que finalement on a depuis 105 c'est à dire 30 de résultats equi probable résultat possible equi probable equi probable donc qui ont la même chance d'être réalisé voilà alors je vais vérifier 1 2 x 2 ça fait 4 x 2 8 fois de 16 x 2 32 alors maintenant pour calculer cette probabilité la probabilité d'avoir obtenu exactement trois fois face il suffira qu on trouve le nombre de manières le nombre des résultats qui correspondent à ça donc le nombre de feux de manière que l'on m'a d'avoir exactement trois fois face à leur sens pourrait le faire en recensant toutes les possibilités tous les résultats possibles faisant par exemple un schéma en arbre et puis en identifiant toutes les peaux site toutes les tous les résultats où il ya exactement trois fois face mais bon ça serait un petit peu long donc là on va le faire différemment on va le faire en reprenant ce qu'on a ce qu'on a fait dans d'autres vidéos alors notre expérience c'est le lancer de cette pièce de mode et cinq fois de suite donc je vais représenter chaque lancé par un espace alors ça c'est le premier espace ça c'est le deuxième espace donc le deuxième lancer le troisième le quatrième et le cinquième voilà alors nous ce qu'on cherche c'est à regardera le comté les issues qui contiennent trois fois face donc on veut avoir trois fois face alors là c'est trois fois face je leur donnais des noms pour pouvoir en parler alors je vais d'abord je vais les appeler comme ça fhf b et fc voilà est en fait bon je donne exprès dénombre des noms abc parent de trois parce que je veux pas qu'on croit que c'est le premier deuxième ou troisième parce qu'en fait ce qu'on va voir plus tard c'est que l'ordre dans lequel on place ses faces n'a aucune importance effectivement si je prends par exemple une issue de ce genre là f&a fbfc et puis pil pil mais ça pour me pour nous ce sera exactement la même chose que d'avoir cette cette issue là par exemple ffcf b voilà et puis pil pil ces deux issues là sont exacts pour nous ce sont exactement les mêmes donc il va pas falloir qu'on les comtes de foix 1 alors ce qu'on va faire là pour calculer le nombre de cas où on a exactement trois fois face et bien on va tout simplement commencer par calculer le nombre de cas où on a exactement trois fois façon tenant compte de l'ordre donc sans s'occuper de ce qu'on vient de dire ici et puis après on va diviser par le nombre de permutations de trois éléments ici en fait ce qu'il faut c'est diviser par le nombre de manière qu'on a de permuter de placer les f&a fbfc voilà alors maintenant on va tenir compte de l'ordre leur est demandé comment est-ce qu'on peut placer les deux premiers de façon différente on peut placer les éléments fafpt fc alors je vais commencer par f ah le à celui là bas en fait je vais considérer chaque lancer comme des espaces un objet ce f âge je peux le placer dans cinq espaces possibles en fait j'ai cinq choix possibles ici donc par exemple je peux faire un exemple je vais placer ici voilà donc la g5 choix possible pour f a ensuite pour fb pour fb qui est celui-là bain puisque j'ai déjà choisi un emplacement j'ai déjà un emplacement occupé finalement il n'en reste plus que quatre il reste quatre endroits où je peux placer fb bon par exemple pour faire un exemple encore je vais le mettre ici voilà et puis enfin il me reste celui là fc qu'il faut que je place et celui là maintenant j'ai plus que trois possibilités pour le placer puisque les deux autres espaces puisqu'il ya déjà deux espaces qui sont occupés donc il me reste trois libre donc par exemple je peux le mettre ici dix ans voilà et donc j'ai ces trois possibilités alors du coup si on si on tenait compte de l'ordre et ben en fait on aurait on pourrait dire que le nombre de possibilités de d'avoir exactement 3 face ça serait 5 x 4 x 3 5 x 4 x 3 et donc 5 x 4 x 3 ça fait 65 x 4 ça fait vingt 20 x 3 ça fait 60 donc on aurait 60 possibilité mais évidemment ça c'est pas ce qui nous intéresse d'ailleurs on pourrait pas avoir 60 cas favorable alors qu'à 30 de résultats possibles seulement donc il ya on voit bien qu'il ya un problème effectivement ça c'est parce qu'on doit pas considérer l'ordre parce que si on considère l'ordre on va compter deux fois d ici tout des issues de ce genre l'inde par exemple alors je répète 1 c'est la raison pour laquelle on obtient un nombre si grand bien trop grand pour nos résultats possibles et bien c'est parce que la fondamentalement on va différencier des issues ou y aura ffb fc comme ça d'une autre issue où on va avoir par exemple fb ici et puis f à la et fc l'a donc en fait en compte plusieurs fois d issue qui pour nous sont les mêmes donc c'est pour ça qu'on a ce grand monde et et c'est pour ça qu'il faut diviser par le nombre de permutations de trois éléments alors maintenant pour compter ses permutations par exemple je vais j'ai trois emplacements qui sont occupés en fait toutes les toutes les issues ou ces trois emplacements seront occupés par des faces mais dans un ordre différent on va devoir les comtés de la même manière alors alors pour calculer selon de permutations ce que je vais faire c'est que je vais je prends trois objets alors là c'est abc et puis trois emplacements voilà alors le premier emplacement le premier objet en fait l'objet a par exemple c'est le premier que je vais placer je peux le mettre dans trois emplacements puisqu'ils sont tous vides donc je peux choisir l'un des trois j'ai trois possibilités pour le deuxième puisque j'ai déjà choisi un emplacement qui est occupée par parle l'élément à dingé plus que deux possibilités voilà et puis pour le dernier bain j'ai plus qu'une seule possibilité puisque les deux autres sont occupés donc fois donc finalement le nombre de permutations le nombre de permutations de ces trois éléments dans trois espaces c'est 3 x 2 x 1 c'est à dire 6 donc s y perd mutation alors finalement pour calculer le nombre de cas favorable le nombre de cas favorable c'est-à-dire le nombre de cas où on a exactement 3 face sans tenir compte de l'ordre eh bien on va dire que c'est 60 60 c'est à dire le nombre de cas où on a trois fois face mais en comptant l'ordre / ce nombre de permutations que je viens de calcul est ici donc divisé par six voilà 60 / 6 bons mais ça ça fait exactement 10 10 possibilité donc maintenant on peut calculer la probabilité d'avoir exactement trois fois face et bien puisque la situation est une situation d que probabilité cette probabilité ça va être le nombre de cas favorable c'est-à-dire 10 / le nombre de résultats possibles c'est-à-dire 32 32 et ça on peut l'écrire aussi on peut diviser tout par deux ça fait 5 sur 16 5 sur 16 donc voilà finalement on a cinq chances sur cèze d'obtenir trois fois face canton cinq fois une pièce de monnaie