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Heure actuelle :0:00Durée totale :11:40

Une généralisation avec les coefficients binomiaux

Transcription de la vidéo

alors je vais reprendre la situation qu'on avait sur laquelle on a travaillé dans une précédente vidéo on avait une pièce mon truc et qu'on leur ont lancé cinq fois de suite et on s'était demandé quelle était la probabilité d'avoir exactement trois fois face dans ces cinq lancers on avait réussi à le faire alors là ce qu'on va faire c'est reprendre cette situation mais d'une manière complètement général alors je vais faire un peu de place et en fait la situation la question qu'on va se poser ici c'est quelle est la probabilité d'avoir quatre fois face quatre fois face en haine lancée donc je fais est lancée de cette pièce de monnaie non truquées et je vais me demander quelle est la probabilité d'obtenir quatre fois face alors bon on est dans une situation des coûts de probabilités donc la probabilité de cet événement ça va être le nombre de cas favorable sur le nombre de cas total donc le réflexe déjà c'est d'aller calculer le nombre de résultats total qu'on peut avoir comme dans cette expérience donc l'expérience ici s'élancer de haine pièces de monnaie vous lancez d'une pièce de monnaie non truquées n fois de suite alors le premier lancer j'ai deux possibilités le deuxième lancer j'ai deux possibilités aussi pile ou face à chaque fois le troisième aussi le quatrième aussi ainsi de suite jusqu'aux énième et dernier lancer de la pièce de monnaie donc sans mal on avait déjà fait ça plusieurs fois mais bon comme tous les lancers sont sont indépendants les uns des autres en fait le nombre de possibilités total ici non de résultat total c'est le produit de tout ça donc c'est 2 x 2 x 2 x 2 et ainsi de suite en fait il y à ici n aime terme voilà donc ça cn terme puisqu'il i am lancé et donc finalement on trouve que le nombre de possibilités ces deux puissances est né il ya deux puissances n résultats possibles écoutes probable equi probable voilà ça c'est donc le premier réflexe alors maintenant évidemment il faut qu'on a et regarder parmi ces deux puissances n résultat possible lesquels combien y en a qui vérifie ce qu'on cherche c'est à dire qu'ils font intervenir quatre fois face pour lesquelles on a eu quatre fois face à l'or pour faire ça on va faire exactement la même manière que ce qu'on a fait dans la vidéo précédente je monte un petit peu on devait avoir trois fois face parmi nos cinq lancers donc en fait on avait représenté nos trois fois face et on avait regardé pour chacun d'entre eux combien il y avait deux possibilités de les placer sur les lancers en fait on avait considéré chaque lancer comme un emplacement où on devait mettre face ou pile voilà donc là on va faire exactement la même manière je redescends on doit avoir quatre fois face et on va considérer chaque fois qu'on a eue face on va essayer de long va regarder dans combien d'emplacements peut le mettre donc le premier la première fois que j'efface je peux le mettre dans puisque ggn lancé donc j'ai une possibilité voilà la deuxième fois que j'efface j'ai plus que n - j'ai une possibilité en moins donc finalement j'ai plus que n - une possibilité voilà là de la troisième fois que j'efface pardon j'ai pu juger ces deux possibilités en moins j'ai deux emplacements qui ont déjà été pris donc finalement la gn - deux possibilités et en fait je peux continuer comme ça la quatrième fois j'aurai end moins trois possibilités mais ainsi de suite donc je peux continuer ce produit jusqu'à avoir exactement qu'à terme alors le dernier ça va être n moins qu'à moisins voilà effectivement là quand je compte là je vais avoir qu'à terme ici j'ai cas terme alors on peut se rendre compte de ce que ça donne avec le cas n égale 5 qui était le nôtre de la vidéo précédente celui qu'on avait travaillé dans la vidéo précédente on avait n égale 5 eca égale trois cas égal 3 donc dans ce cas là ce qu'on obtient ici c'est donc nc5 donc ça fait 5 fois 5 - 1 c'est à dire 4 ensuite c'est 5 - 2 c'est à dire 3 et puis là on s'arrête puisqu'on est déjà à elles moins qu'à moins zen cas - ça fait 2 donc on est déjà n - 2 alors effectivement là c'est un petit peu c'est pas si clair que ça par rapport à ce que j'ai écris ici parce qu'en fait il ya ce serait de -2 que j'ai écrit en trop pour l'écriture l'ag que trois terme mais bon si tu veux je peux le réécrire comme ça en fait là j'aurais eu je vais leur écrire ici n x n - 1 si j'aurais écrit çà comme çà n x et de moins 1 fois et demie 1 2 comme ça jusqu'à fois n mois cas moi ça à ce moment là le parallèle est quand même plus clair ici cnc 5 et 2 - 1 c4 et puis là en fait on arrive directement à ce terme la haine - cac -1 voilà donc ça c'est ce qu'on avait trouvé dans la vidéo précédente c'est le nombre de manière d'avoir trois faces en cinq lancers un mail a effectivement ce qu'on avait fait dans la précédente vidéo c'est qu'on avait remarqué que quand on fait ce produit là en fait on compte plusieurs fois d'être des issues qui sont pour nous les mêmes puisque on compte par exemple comme différente des issues comme ça f face à face b face c et puis face ses faces b face à par exemple ou d'autres enfin on considère différentes d issue qui sont constitués des mêmes éléments mais dans un ordre différent donc ça c'est ce qu'on veut pas faire donc pour faire ça il faut on avait vu qu'il fallait diviser par le nombre de permis tation de trois éléments dans ce cas là donc nous ce qu'on doit faire à partir de ce produit la haine fois une moins 1 fois et de -2 jusqu'à n - cac -1 et bien c'est diviser ce nombre-là par le nombre de permutations de cas éléments alors on va faire comme ça on va dire par exemple si j'ai qu'un élément gelé noter comme ça l'élément 1 l'élément 2 l'élément 3 comme ça jusqu'à l'élément kg seca éléments et je vais regarder de combien de manière je peux les permuter c'est-à-dire changer l'ordre et combien de possibilités g décrire cette suite cette suite d'éléments dans des ordres différents alors pour le premier gk possibilité je peux le placer dans cas plasma qu'un emplacement du coup pour le deuxième j'ai une possibilité de moins donc j'en ai plus que cas moins un pour le troisième j'en ai j'ai deux possibilités de moi parce que j'ai deux plaintes deux emplacements qui sont pris donc les cas moins deux ainsi de suite le 4e j'aurais cac -3 et ainsi de suite jusqu'au dernier où j'ai plus que une possibilité donc finalement le prod quand je fais le produit donc finalement le nombre de permutations de ces qu'un élément c'est le produit de tout ça c'est à dire qu'à fois cas moins 1 fois cas moins deux fois cac -3 6 de suite jusqu'à x 2 x 1 voilà donc finalement le nombre de cas favorable c'est-à-dire le nombre de possibilités d'avoir cas face en lancé eh bien c'est ce produit la haine fois n moins 1 fois n moins deux fois 1 1 jusqu'à n moins qu'à moisins le tout divisé par le nombre de permutation des cas éléments donc c / k fois qu'un moins 1 fois cas moins deux fois jusqu'à x 2 x 1 voie là alors dans d'autres vidéos on a vu d'autre manière plus simple d'écrire cette ce résultat là et on va le faire ici en fait on avait vu que par exemple si je prends déjà cette expression là le dénominateur ici ça en fait c'est qu'à factorielle ça s'appelle on peut l'écrire comme ça c'est que t'as factorielle c'est le produit de tous les nombres inférieur à qu'à tous les nombres entiers inférieur ou égal à cas donc kafka moisins fois qu'un -2 jusqu'à foix alors ça c'est la première chose ça c'est vraiment la définition de cas factorielle par exemple on peut on peut faire quelques exemples si j'ai deux factorielle c'est le produit des nombres entiers inférieurs ou égaux à deux donc c'est 2 fois 1 3 factorielle ça va être le produit des nombres entiers inférieurs ou égaux à 3 donc c'est 3 x 2 x 1 et puis on peut faire aussi 4 factorielle ses 4 x 3 x 2 x 1 et ainsi de suite voilà donc ce sont des nombres qui vont rencontrer très souvent probabilité surtout skis et on peut remarquer que il augmente très rapidement sont des nombres qui augmentent très très vite alors maintenant on va essayer de revoir voir si on peut si on arrive à écrire ce numérateur avec des factorielle aussi alors c'est ce numérateur ici n x n moins 1 fois et demie moins deux fois jusqu'à f x n moins qu'à moisins on va voir si on arrive à le faire à l'écrire différemment je fais de la place donc si j'écris déjà si je commence par écrire n factorielle n factorielle qu'est ce que c'est c'est le produit des nombres inférieurs ou égaux à haisnes donc cn fois n moins 1 fois n moins deux fois wayne - 3 et ainsi de suite jusqu'à x 2 x 1 j'écris le 2 1 c'est l'heure pour montrer que c'est le terme de juste avant un alors ce que je vais faire dans cette expression c'est faire apparaître cette partie là alors cette partie là comment je vais faire en fait je vais je vais écrire ça comme ça c'est n x n - 1 je verrai écrire comme sa foi n moins deux fois ainsi de suite jusqu'à fois n - cac -1 mais lauren - cas - en fait elles - cac -1 n - cac -1 c'est n - jeu développer sa cl - cac +1 donc finalement le terme qui est juste après ici le nombre entier qui est juste après elle moins qu'à moins d'un c'est le nombre antique et juste après que juste inférieur à ny1 cac +1 donc cn - k donc ici g n - k ici donc j'ai n moins qu'à moisins et ainsi de suite là je peux continuer jusqu'à x 1 voie là alors maintenant ça c'est intéressant j'ai juste c'est juste un jeu d'écriture j'ai juste fait apparaître ce facteur là et alors maintenant du coup ce qu'on peut voir c'est que quand on fait n factorielle sur aisne - cas factorielle bien en fait tout ça va se simplifier je vais leur écrire ça fait n faire elle moins vingt fois je continue comme ça jusqu'à n - cac +1 je peux l'écrire directement comme sa foi n - k x n - cas moins 1 fois et ainsi de suite jusqu'à fois un le tout divisé par haine - cas factorielle mais est moins qu'à factorielle qu'est ce que c'est bassée haisnes - k facteur c'est le produit des nombres entiers inférieurs ou égaux à 1 de moins qu'à donc cn - cas fois n moins qu'à moisins fois l'entier inférieur donc cn - cac -2 je vais pas leur écrire je fais je vais continuer comme ça jusqu'à x 1 et là on voit que tout ça se simplifient c'est toute cette partie là se simplifie l moins qu'à se simplifier à cannes - cas elles - cas - avec elle - cac -1 ici il y aura les moins qu'à moins deux qui va simplifier avec à moi est moins qu à moins 2 donc en fait celui d'après ce simplifiera avec celui qui est ici en fait chaque facteur ici va se simplifier avec quelque chose en dessous donc finalement tout ça ça se simplifient et finalement on m'a cette égalité la haine factorielle sereine - cas factorielle c'est exactement le numérateur qu'on a fait ici cn fois n - 1 x est moins deux fois suite jusqu'à fois n - cas plus à moi qu'à moins on peut dire voilà on va pouvoir maintenant écrire que le nombre de cas favorable le nombre de cas favorable donc le nombre de façons d'avoir nombre de cas favorable c'est le nombre de façons d'avoir cas face en lancer eh bien ça cette fois ci on va pouvoir les grès comme ça c'est n factorielle alors je vais respecter les couleurs n factorielle suresnes moins qu'à factorielle / faut pas oublier sa parka factorielle qui représente le nombre de permutations de cas éléments voilà ça c'est le nombre de cas favorable et du coup on peut maintenant répondre à notre question la question c'est est qu'elle est là j'ai remonté quelle est la probabilité d'avoir quatre fois face en lancer eh bien cette fois ci on peut y répondre puisqu'on avait on sait que c'est le nombre de cas favorable divisé par le nombre de résultats possibles de nombre de cas possible qu'ils aient deux puissances n donc finalement on va pouvoir conclure en disant que la probabilité d'avoir cas fois face antenne lancé cette pièce non truquées et bien c n factorielle suresnes moins qu'à factorielle fois cafac factorielle le tout divisé par deux puissances n alors un petit peu de vocabulaire un saint ce qu'on a trouvé là le nombre l'expression du nombre de cas favorable ici on appelle ça le nombre de combinaisons en fait elle est créée en violet c'est le nombre de combinaisons de cas éléments parmi elles donc en fait c'est le nombre de façon de choisir un ensemble de cas éléments parmi un ensemble plus grand de haine éléments sans tenir compte de l'ordre ayant le note comme ça qu à n le choix de cas éléments parmi elles ou bien aussi on peut noter comme ça c'est cnk c'est les combinaisons de qu'un élément parmi elles alors bon on a on a réussi à trouver la réponse à la réponse c'est ça la probabilité c'est ce nombre la haine factorielle sereine - père factorielle x 4 factorielle le tout divisé par deux puissants scène alors j'insiste quand même avec l'habitude de toute façon on se souvient de ses formes la de la formule du greffe ici de ce coefficient ça ceux qui savent qu'on appelle aussi à sa coefficient binomiale ce qu'il apparaît dans la formule du binôme de newton mais dont call avec l' usage avec l'habitude on se souvient de cette formule mais c'est quand même très important d'arriver à savoir d'où elle vient d'arriver à reproduire le raisonnement fait moi je mets même aujourd'hui après tout ce temps je continue quand je quand j'ai à l'utiliser j'ai le réflexe de toujours refaire ce raisonnement et voilà je sais comme ça que je retrouve la formule je fais le raisonnement rapidement bien sûr mais je retrouve cette formule par le raisonnement donc je t'engage vivement a vraiment essayé de bien comprendre d'où vient cette formule plutôt qu'à la réutiliser de mémoire