Exemple - Probabilité de gagner à une loterie

pour jouer une loterie un joueur choisi quatre nombres entre 20 et 60 un nombre ne peut être choisie qu'une seule fois ci les quatre nombres choisis sont tirés au sort dans n'importe quel ordre le joueur gagne quelle est la probabilité que les nombreux gagnants soit 3 15 46 et 49 alors bon un bon réflexe pour aborder ce genre de problème c'est toujours de commencer par essayer de calculer le nombre de résultats possible qu'il y a alors ici ce qu'on fait en fait c'est choisir quatre nombre parmi 60 puisqu'on à 60,1 dénombre compris entre 20 et 60 donc à 60 nombre en tout et on en choisit quatre parmi ceux là dans n'importe quel ordre donc ce qu'on va faire c'est pas choisir quatre nombres en tenant compte de lord c'est finalement choisir un ensemble de quatre nombres parmi ces 60 l'a donc hall le nombre de manières de faire ça c'est ce qu'on appelle une combinaison de quatre éléments parmi 60 note que c'est ce nombre qu'on note comme ça on l'a déjà vu plusieurs fois c'est les combinaisons de quatre éléments parmi 60 et le fait que ce soit une combinaison et non pas un arrangement c'est parce qu'on ne tient pas compte de l'ordre alors on avait vu ça plusieurs fois on sait qu'il ya une formule pour faire ça je vais noter la formule mais après je reverrai un petit peu pourquoi on obtient cette formule c'est vraiment important de comprendre d'où elle sort alors ce nombre là le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 60 c 60 factorielle sur 60 - 4 factorielle / 4 factorielle on avait vu cette formule alors maintenant on va essayer de voir on va se rappeler un peu rapidement pourquoi pourquoi on obtient cette formule alors je vais déjà me concentrer sur cette partie là cette partie là qui est ici 60 factorielle / 60 - 4 factorielle alors soit 60 - 4 factorielle ça fait 60 points 4 ses 56 donc ça c'est 56 factorielle est en fait cette partie là ici finalement c'est 60 x 59 x 58 x 57 parce que après tout les tous les termes qui viennent après ses 56 x 55 jusqu'à x 1 donc c'est exactement 56 factorielle donc ce qu'on est ici ce que j'ai encadré rovère c7 ce produit-là 60 x 59 x 58 x 57 et en fait ça correspond au fait que là si on tient compte de l'ordre alors quand je choisis mon premier nombre g60 possibilité quand choisi le deuxième nombre je n'ai plus que 59 possibilité puisque je peux par choisir le même qu'avant ça c'est parce qu' un nombre ne peut être choisie qu'une seule fois dans 20 cas où il n'y a pas de remise ensuite pour choisir le troisième nombre j'ai plus que 58 possibilités et ensuite pour choisir le quatrième dont le dernier nombre je n'ai plus que 50 cette possibilité donc voilà ça c'est cette partie là et on y est ça correspond en fait à un arrangement de quatre nombres parmi 60 alors ensuite cette partie là que je vais entouré orange la 7,4 factorielle bien ça ça correspond au nombre de permutations de quatre éléments ça c'est parce que quand on fait ce produit ici on a donc un arrangement de quatre nombres parmi 60 mais là on considère différent d issue où on a tiré au sort les quatre même nombre mais dandin dans des ordres différents donc il faut diviser par le nombre de permutations de quatre éléments et c'est ce qu'on fait ici en divisant par quatre factorielle alors pour comprendre pourquoi ça c'est le nombre de permis tation des quatre éléments il suffit de se dire bon bah le première le premier élément g4 façon de le choisir j'ai quatre possibilités le deuxième j'en ai plus que trois ça fait donc 4 x 3 le troisième j'ai plus que deux possibilités donc 4 x 3 x 2 et puis ensuite le dernier j'ai plus qu'une seule possibilité donc le nombre de permutations total de ces quatre éléments ces 4 x 3 x 2 x c'est-à-dire 4 factorielle donc voilà pourquoi cette formule là ça donne bien le nombre de de combinaison de quatre éléments parmi 60 alors maintenant je vais leur écrire pour le calcul est donc j'ai cette partie là qui étaient en verre je vais reprendre le vert c'est 60 x 59 x 58 x 57 et ça je divise par le ce que j'ai encadré orange donc sa c4 factorielle c'est donc 4 x 3 x 2 x alors bon je pourrais sortir directement la calculatrice mais je vais quand même faire des simplifications alors 60 c 4 x 15 donc là je peux simplifier le 4 est là donc je vais avoir ici un 15 ans 8 15 c 5 x 3 donc je vais pouvoir simplifier le 3 qui est là et je vais avoir plus que cinq ici alors 50 fois ci donc ça fait cinq fois 59 ici 5,58 ces deux fois 29 deux fois 29 donc je vais pouvoir simplifier le 2 avec celui là et je me retrouve finalement avec ça alors je vais les entoure et pour que ce soit plus clair j'ai donc cinq ans numérateur 5 x 59 x 29 x 57 et en fait dénominateur j'ai plus que 1 donc ce nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 60 finalement c'est 5 x 59 x 29 x 57 voilà maintenant je vais sortir la calculatrice alors 5 x 59 x 29 x 57 ça me donne 487 1635 487 1630 5 ça c'est donc le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 60 c'est donc finalement le nombre de résultats possibles qui a dans cette loterie c'est le nombre de combinaisons donc il y à 487 1635 combinaisons possibles alors maintenant la probabilité qu'on recherche je vais l'écrire en violet la probabilité qu'on cherche c'est la probabilité que les nombreux gagnants ce soit 3 15 46 et 49 ça ce sont des numéros gagnants les nombreux gagnants alors pour calculer sa balle fait juste comprendre que cette issue la 3 15 46 et 49 c'est une issue particulière parmi les 480 7635 issue possible de la loterie donc finalement la probabilité de cette issue là bas c'est tout simplement un tueur le nombre total de combinaisons c'est à dire 404 7630 5 voilà donc on a une chance sur 487 1635 de gagner à cette loterie