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Exemple - Avoir les 4 as dans une main de 9 cartes

Transcription de la vidéo

un jeu de 36 cartes est composé de quatre couleurs les coeurs les carreaux les trèfles et les pics dans chaque couleur les cartes sont numérotées de 1 à 9 on a déjà fait à une vidéo avec ce jeu de cartes alors une main est une collection de neuf cartes distribuées au hasard que le joueur peut ranger dans l'ordre qu'il souhaite ça veut dire que quand on considère une main on considère pas leur mentir pas compte de l'ordre dans lequel les cartes sont rangés et si ce qu'on nous demande c'est quelle est la probabilité qu'une main contiennent les 4 as contiennent les 4 as voilà alors on va l'écrire comme ça qu'on cherche c'est la probabilité d'avoir une main avec quatre as qui contient les 4 as voilà alors comme les cartes sont distribuées au hasard on est dans une situation des coûts de probabilités et dans ce cas là on sait que la probabilité c'est tout simplement le nombre de cas favorable c'est-à-dire ici ça va être alors je vais écrire en bleu ça va être le nombre de mains avec quatre as donc le nombre de mains qu'on peut former avec qui contiennent 4 as l'indifférente divisé par le nombre de mains total c'est le nombre de cas favorable divisé par le nombre de résultats possibles donc ici je répète un nombre de cas favorable nombre de résultats favorables ces nombreux demain qui contiennent cannes 4 à ce qu'on peut former divisé par le nombre de résultats possibles ici c'est le nombre de mains possibles demain possible donc demain possible de ne de neuf cartes alors on va commencer par calculer ce nombre de mains possibles raimon neuf cartes qu'on peut faire avec un jeu de 36 cartes va commencer par ça parce que c'est un peu plus simple en plus on l'a déjà fait dans une autre vidéo donc dont se souvient peut-être ça sera plus facile alors on va commencer par sa part calculée ça le nombre demeure possible alors pour calculer ça ce qu'on va faire c'est déjà choisir la première carte alors pour faire ça on a 36 possibilités ensuite on va 35 possibilité pour choisir la deuxième carte ensuite on a trente quatre pour choisir la troisième et ainsi de suite 33 pour la 4è ensuite trente deux pour la 5e 31 pour la 6e 30 pour la 7e 29 pour la 8ème et enfin 28 pour la neuvième et dernière carte voilà alors quand on a fait ce que quand on fait ça en fait on considère ici des mains qui sont constitués de même carte mais rangé dans un ordre différent comme des mains différentes ce qui est pas ce qui est pas ce qui nous intéresse ici ici nous on ne doit pas tenir compte de l'ordre dans lequel dans lequel sont rangés les cartes donc demain constitué des mêmes cartes mais dans un ordre dit ranger dans un ordre différent tu ce sont les mêmes mains pour nous donc ici on va diviser c'est ce qu'on avait fait dans la halle dans la vidéo précédente on va diviser par le nombre de permutations de neuf cartes et ça on avait vu que c'était alors on va le faire je vais faire dans une autre couleur on avait vu que pour trouver le nombre de permutations de neuf cartes on faisait comme ça on disait la première carte g9 possibilité pour la choisir la deuxième j'ai plus que huit possibilités puisque j'ai déjà choisi la première l'atr la troisième j'ai plus que cette possibilité la 4e j'ai plus de six possibilités ainsi de suite la cinquième j'ai plus que cinq possibilités la 6e j'ai plus que quatre possibilités la 7e j'en ai plus que trois la huitième j'ai plus de possibilité ensuite il me reste une carte qui forcément la 9e carte voilà donc ça ce que j'ai écrit en dessous de 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ça c'est neuf factorielle c'est le nom de permutations de neuf cartes voilà alors on avait vu aussi que ça c'était ça pouvait s'écrire de cette manière là alors je vais reprendre le jeu de couleurs pour qu'on se trompe pas alors cette partie qui est en violet le numérateur on l'avait on avait vu qu'on pouvait l'écrire comme ça c'est 36 factorielle / 36 - 9 factorielle voilà et puis ce qui est ce que j'ai écrit en jaune c'est neuf factorielle comme je disais tout à l'heure donc on avait réécrit ce cette fraction ici c'est énorme fraction de cette manière là beaucoup plus condensée ses 36 factorielle / 36,9 factorielle x 9 factorielle voilà ici un ski ce que j'ai fait en violet correspond à ce que j'ai fait en violet ici est ce que j'ai fait en jaune ici correspond à ce que j'ai écrit en jaune ici aussi donc ça ça représente le nombre de mains possibles qu'on peut faire avec 36 cartes bon j'ai été un petit peu vite ainsi si c'est pas très clair tu peux aller regarder la vidéo qu'on avait déjà fait là dessus et maintenant on va essayer de calculer le nombre de mains de neuf cartes qui contiennent 4 as alors je vais l'écrire comme ça on va essayer de calculer ça maintenant le nombre de mains avec quatre as alors pour faire ça pour calculer ce nombre de mains qui contiennent 4 as eh bien on va utiliser le fait que l'ordre ne qu'on parle donc dans une main qui contient 4 as on peut très bien supposer que les 4 as ce sont les quatre premières cartes donc on va on va faire ça comme ça on va représenter une main avec les emplacements donc à neuf emplacements 2 3 4 5 6 7 8 9 voilà alors là mon premier emplacement il est occupé par un as le deuxième emplacement il occupé par un as le troisième aussi est le quatrième aussi voilà donc là il fit finalement ici finalement j'ai une seule possibilité pour remplir les quatre premières cartes puisque je dois avoir les quatre as c'est comme si on se demande ont considéré des mains de quatre cartes seulement et à ce moment là on comprend très bien que la seule façon d'avoir une bonne cap 4 clics qui contient les 4 as c'est d'avoir cessé cette possibilité là donc finalement là j'ai une possibilité une autre possibilité une autre possibilité est une seule possibilité alors maintenant ce qu'il faut que je fasse la main n'est pas constitué de quatre cartes uniquement mais de neuf donc il faut que je remplisse les neuf emplacements les neuf faut que je choisisse les neuf les cinq cartes restantes pardon 5 arte restant alors pour choisir cette carte là la cinquième finalement la première qui me restent avant à choisir donc c'est la 5ème vrai jeu peut la choisir parmi toutes les cartes sauf parmi les à ce que j'ai déjà choisir donc finalement le jeu peut la choisir parmi 36 - quatre cartes puisque j'ai déjà choisi les quatre ars les 4 as donc ici j'ai finalement prote deux possibilités et pour choisir cette carte là cette cinquième carte pour choisir maintenant la 6e j'ai plus que trente et une possibilité puisque j'ai déjà choisi cinq cartes ensuite la 7e j'ai plus de 30 possibilité la huitième j'en ai plus que 29 et enfin la de la 9ème carte j'ai plus que 28 possibilités voilà donc ça ça veut dire que le nombre de mains de qui contiennent 4 ha c'est bien il est donné par ce produit là c'est ce produit-là 1 x 1 x 1 x 32 x 31 x 30 x 29 x 28 mais là c'est pas exactement ça puisque ici quand on a rempli les cinq derniers emplacements et bien on a tenu compte de l'ordre ici par exemple ça nous intéresse pas de savoir si le cinq deux carreaux est en première position ou en dernière position c'est salam la même chose donc comme d'habitude ici on va diviser par le nombre des permutations de ces cinq cartes qu'on a rempli ici donc je vais le faire je verrai écrit il crée écrire ce qu'on a ici donc le numérateur ses 32 x 31 x 30 x 29 x 28 ça c'est le nombre colada déterminé ici en choisissant les seins les cinq dernières cartes et puis on divise sa part le nombre de permutations de cinq cartes alors pour choisir la première carte j'ai cinq possibilités pour choisir la deuxième j'en ai plus que quatre pour choisir la troisième lot n'est plus que 3e choisir la 4e j'ai plus que deux et enfin la dernière carte c'est plus qu'une possibilité donc voilà le nu mais le dénominateur ici c'est le nombre de permutation des cinq cartes donc finalement cette fraction là ça représente bien le nombre de mains qu'on peut faire qui contiennent 4 à ce nombre de mains de neuf cartes qui contienne qu'un traces alors maintenant on revient à notre question la provence ce qu'on cherchait c'était la probabilité d'obtenir une main qui contiennent 4 as alors pour calculer cette probabilité maintenant il faut qu'on divise le nombre de mains avec qui contiennent 4 à succès cette fraction la part le nombre de mâts possible qu'ils aient cette énorme fraction qui est ici alors j'avais fait exprès de pas faire les calculs parce que là on va pouvoir faire des tas de simplification alors j'ai fait un petit peu de place donc la probabilité d'avoir une main avec quatre as on a dit que c'était le rapport entre le nombre de mains possibles entre le nombre de mains qui contiennent 4 as pardon et le nombre de mains possibles alors c'est donc cette fraction la / celle ci mais alors quand on divise de frax quand on divise par une fraction c'est la même chose que de multiplier par l' inverse donc c'est ce que je vais faire ici donc je vais pour aller plus vite je vais copier cette partie là voilà et je vais maintenant réécrire le nombre de mains possibles ici mais à l'envers donc je vais pour les plus vite aussi veut d'abord copier ça qui va devenir maintenant le numérateur voilà et puis maintenant je vais copier cette partie là qui va devenir le dénominateur maintenant il faut que je fasse le traître action voilà donc ça c'est la probabilité d'une me d'obtenir une main qui contient les 4 as c'est cette fraction la x celle ci c'est à dire là on a multiplié par l' inverse inverse du nombre de mots possibles alors ici on peut voir un certain nombre de simplification par exemple la ce dénominateur 5 x 4 x 3 x 2 x 1 on le retrouve ici 5 x 4 x 3 x 2 x 1 donc on peut faire cette simplification là ça ici là il n'ya plus que 1 et puis de la même manière on trouve ici 32 x 31 x 30 x 29 x 28 qu'on retrouve ici donc on va pouvoir faire cette simplification aussi donc ça c'est un voilà jeu simplifié avec ça donc je vais écrire maintenant ce qui me reste il reste 9 x 8 x 7 x 6 / alors 36 x 35 x 34 x 33 alors là on pourrait sortir la calculatrice mais bon c'est un bon exercice que d'essayer de simplifier cette fraction là à la main alors 36 et 4 x 9 donc je peux simplifiée avec ce 9 qui est là il va me rester quatre ensuite gysi g8 ces 4 x 2 donc je peux simplifiée avec ce 4 qui est là et il va me rester ici 2 2 donc je vais clarifier là il me reste 1 1 la plate cela passe de snuff ici me reste 1 l'a alors cette ici g7 est ici j'ai cette fois 5,7 x 5 donc je peux simplifier les sept qui sont là et ici il me reste cinq ensuite l'âge et 34 34 c 2 x 10 7 2 fois 17 donc je peux simplifier le 2 qui est là avec celui ci donc il me reste 17 ensuite j'ai 33 alors 33 ces trois fois on dit ici dit j'ai deux fois trois dons qui va me rester un deux ici ça s'éteint qu'il reste là aussi la g2 et puis ici g11 puisque ces trois fois montcelleux trois clés simplifiée avec ce 3 qui tisse alors je vais leur écrire proprement il me reste alors là j'ai plus que ce 2 puisque c'est un x x x 2 donc il me reste deux sur alors 5 là j'ai plus que 1 x 5 x 17 x 11 donc 5 x 17 x alors voilà on a quand même pas mal simplifiée et maintenant on va prendre la calculatrice pour calculer le dénominateur alors le dénominateur c'est 5 x 17 x 11 ce qui fait 935 donc finalement la probabilité d'avoir une main qui contient 4 as ces deux sûr j'ai oublié 935 935 voilà donc ces deux chances sur 935 ça c'est le résultat 2 sur 9 135 donc en gros c'est un petit peu plus que deux chances sur mille c'est à dire que quand on nous distribue une main de neuf cartes on a à peu près un peu plus d'une chance sur 500 qu'elles contiennent les 4 as