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Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale

Exercice 1 - Une histoire de lancers francs

Enzo réussit 90, percent de ses lancers francs. Il s'apprête à faire 3 lancers francs. On admet que le résultat d'un lancer franc est indépendant du résultat du lancer précédent.
Il veut savoir quelle est la probabilité qu'il en réussisse 2 sur les 3.
On réfléchit à tous les cas possibles.
exercice A
S'il réussit 2 lancers francs, combien en aura-t-il raté ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

exercice B
Quelle est la probabilité qu'il réussisse les deux premiers et rate le troisième ?
Arrondir la réponse au centième.
P, left parenthesis, start text, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, comma, space, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, comma, space, r, a, t, e, with, \', on top, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

exercice C
Le cas "réussi, réussi, raté" est une façon de réussir 2 fois sur 3, mais ce n'est pas la seule.
Quelle est la probabilité qu'il réussisse le premier lancer franc, rate le deuxième et réussisse le troisième ?
Arrondir la réponse au centième.
P, left parenthesis, start text, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, comma, space, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, comma, space, r, a, t, e, with, \', on top, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

exercice D
Le troisième cas possible est "raté, réussi, réussi".
Quelle est la probabilité qu'il rate son premier lancer franc et réussisse le deuxième et le troisième ?
Arrondir la réponse au centième.
P, left parenthesis, start text, r, a, t, e, with, \', on top, comma, space, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, comma, space, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

exercice E
Vérifier avec la formule des combinaisons qu'il n'y a que 3 façons d'obtenir 2 succès en 3 tentatives.
left parenthesis, start subscript, p, end subscript, start superscript, n, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, n, !, divided by, left parenthesis, n, minus, p, right parenthesis, !, times, p, !, end fraction
left parenthesis, start subscript, 2, end subscript, cubed, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
façons

exercice F
En déduire la probabilité qu'il réussisse 2 des lancers francs sur les 3.
Arrondir la réponse au centième.
P, left parenthesis, start text, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, r, space, 2, space, d, e, s, space, l, a, n, c, e, r, s, space, f, r, a, n, c, s, space, s, u, r, space, l, e, s, space, 3, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, S, space, end text, start text, S, space, end text, start text, E, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, S, space, end text, start text, E, space, end text, start text, S, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, E, space, end text, start text, S, space, end text, start text, S, end text, right parenthesis
P, left parenthesis, start text, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, r, space, 2, space, d, e, s, space, l, a, n, c, e, r, s, space, f, r, a, n, c, s, space, s, u, r, space, l, e, s, space, 3, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Le schéma de Bernoulli

Cet exercice est un exemple de schéma de Bernoulli.
On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p :
  • la répétition de start color #11accd, n, end color #11accd épreuves identiques
  • indépendantes deux à deux.
  • qui n'ont que deux issues, un "succès" ou un "échec"
  • et où start color #1fab54, p, end color #1fab54 désigne la probabilité d'un succès
La probabilité d'obtenir k succès est :
P( succeˋobtenir k)=(kn)×(d’un succeˋsprobabiliteˊ)(k)×(d’un eˊchecprobabiliteˊ)(nk)\begin{aligned} &P\left( \overset{\text{obtenir }k}{\text{ succès }}\right) \\\\ &=\left( \overset{^n_k}{}\right) \times\left( \overset{\text{probabilité}}{\text{d'un succès}}\right)^{\left( \overset{\text{}k}{\text{}}\right)} \times\left( \overset{\text{probabilité}}{\text{d'un échec}}\right)^{\left( \overset{\text{}n-k}{\text{}}\right)} \end{aligned}
Dans le cas de l'exercice que l'on vient de traiter :
  • n, equals, 3 lancers francs
  • chacun des lancers francs est "réussi" (succès) ou "raté" (échec)
  • la probabilité qu'il réussisse un lancer franc est start color #1fab54, p, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 0, comma, 90, end color #1fab54
  • on a admis que le résultat d'un lancer franc de dépend pas du lancer franc précédent
P(reˊussir 2 des lancers francs sur les 3)=(23)×0,902×0,101=3×0,81×0,10=3×0,081=0,243\begin{aligned}P(\text{réussir 2 des lancers francs sur les 3})&=(_2^3) \times \greenD{0{,}90}^{2} \times \maroonD{0{,}10}^1 \\ \\ &=3\times0{,}81\times0{,}10 \\ \\ &=3\times0{,}081 \\ \\ &=0{,}243\end{aligned}

La formule est :

P, left parenthesis, k, start text, space, s, u, c, c, e, with, \`, on top, s, end text, right parenthesis, equals, left parenthesis, start subscript, k, end subscript, start superscript, n, end superscript, right parenthesis, times, p, start superscript, k, end superscript, times, left parenthesis, 1, minus, p, right parenthesis, start superscript, n, minus, k, end superscript
Vous allez pouvoir maintenant résoudre facilement l'Exercice 2 !

Exercice 2

Le petit frère d'Enzo, Lucas, n'a que 20, percent de chances de réussir un lancer franc. Il veut en faire 4.
Quelle est la probabilité qu'il en réussisse 2 sur les 4, question mark
P, left parenthesis, start text, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, r, space, 2, space, d, e, s, space, l, a, n, c, e, r, s, space, f, r, a, n, c, s, space, s, u, r, space, l, e, s, space, 4, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Un dernier exercice

Enzo a promis à Lucas qu'il lui achèterait une glace s'il réussit au moins trois des lancers francs sur les 4.
Quelle est la probabilité qu'il réussisse au moins 3 des lancers francs sur les 4, question mark
P, left parenthesis, start text, r, e, with, \', on top, u, s, s, i, r, space, a, u, space, m, o, i, n, s, space, 3, space, d, e, space, s, e, s, space, 4, space, l, a, n, c, e, r, s, space, f, r, a, n, c, s, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text