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Somme ou différence de variables aléatoires normales

La somme ou la différence de deux variables aléatoires normales indépendantes est aussi une variable aléatoire normale.

Exemple 1 : Masse totale de bonbons

Dans une usine, chaque paquet de bonbons est rempli successivement par 4 machines. La première machine remplit le paquet de bonbons bleus, la deuxième de bonbons verts, la troisième de bonbons rouges et la quatrième de bonbons jaunes. La masse de bonbons versés par chaque machine dans un paquet peut être modélisée par une variable aléatoire normale de moyenne 50, start text, g, end text et d'écart-type5, start text, g, end text. On suppose que les masses de bonbons versés par chaque machine sont indépendantes les unes des autres.
On désigne par T la variable aléatoire égale à la masse totale de bonbons dans un paquet choisi au hasard.
Calculer la probabilité que la masse totale de bonbons dans un paquet choisi au hasard soit inférieure à 178, start text, g, end text.
Nous allons résoudre ce problème en plusieurs étapes.
Exercice A (Exemple 1)
Calcul de l'espérance de T.
E, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, mu, start subscript, T, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
grammes

Exercice B (Exemple 1)
Calcul de l’écart-type de T.
sigma, start subscript, T, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
grammes

Exercice C (Exemple 1)
Quelle est la forme de la courbe de la fonction de densité de T, space, question mark
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Exercice D (Exemple 1)
Calculer la probabilité que la masse totale de bonbons dans un paquet choisi au hasard soit inférieure à 178, start text, g, end text.
Arrondir la réponse au dix millièmes.
P, left parenthesis, T, is less than, 178, start text, end text, right parenthesis, approximately equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemple 2 : Différence de scores au bowling

Adam et Marc jouent au bowling tous les samedis soirs. D'après les données, le score de Adam peut être modélisé par une variable aléatoire A normale d'espérance 175 points et d'écart-type 30 points et le score de Marc par une variable aléatoire M normale de d'espérance 150 points et d'écart-type 40 points. Ces deux variables sont indépendantes.
On note D la variable aléatoire égale à la différence entre le score de Adam et le score de Marc. D, equals, A, minus, M.
Calculer la probabilité que le score de Marc soit supérieur à celui de Adam lors d'une partie choisie au hasard.
Nous allons résoudre ce problème en plusieurs étapes.
Exercice A (Exemple 2)
Calcul de l'espérance de D.
E, left parenthesis, D, right parenthesis, equals, mu, start subscript, D, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
points

Exercice B (Exemple 2)
Calcul de l’écart-type de D.
sigma, start subscript, D, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
points

Exercice C (Exemple 2)
Quelle est la forme de la courbe de la fonction de densité de D, space, question mark
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Exercice D (Exemple 2)
Calculer la probabilité que le score de Marc soit supérieur à celui de Adam lors d'une partie choisie au hasard.
Arrondir la réponse au dix millièmes.
P, left parenthesis, start text, s, c, o, r, e, space, d, e, space, M, a, r, c, space, s, o, i, t, space, s, u, p, e, with, \', on top, r, i, e, u, r, end text, right parenthesis, approximately equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Indice : Calculer P, left parenthesis, D, is less than, 0, right parenthesis.