If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :9:44

Transcription de la vidéo

voici une fonction af 2x qui étayent à la tangente 2x moins trois pieds sur 2 puis 6 on a trouvé la réciproque de f est spécifié son domaine et son image alors avance à un rappel de cours sur la fonction tangente et sarrail sip rock ark tangente pour qu'on comprenne déjà comment est ce qu'on obtient le domaine et l'image de chacune de ces fonctions donc le domaine de la fonction tangente d'abord où est ce que la fonction tangente et défini pour quelle valeur de x et bats a priori pour n'importe quel angle on peut on peut trouver ça tangente sauf pour pied sur deux est moins pire sur deux on voit que sur le sable trigonométriques on obtient une droite parfaitement verticale donc de coefficient directeur indéfinie et que on obtient caussinus de cet angle là qui est égal à zéro et vu que tant jean de ses sinus sur caussinus elles ont fait une division par zéro et là on le voit bien sur la représentation graphique de tangente qu'on a une asymptote à chaque fois qu'on à pied sur deux plus un certain nombre de fois un demi-tour donc plus qu'à piller ou cas est un entier naturel donc voilà le domaine de la fonction au tangente c'est tout les réels - l'ensemble des angles qui font pipi sur deux ou langues disent sûrs de auquel on ajoute un multiple de pis on ajoute on soustrait un multiple de pie et ça on l'écrit comme ça ces petits sur deux plus qu'à pied ou cas est un chantier relatif très bien donc maintenant le l'image de la fonction tangente on voit que tangente bas peut prendre n'importe quelle valeur alors de moins l'infini jusqu'à + l'infini sur cette courbe est d'ailleurs si on pense à auxerre trigonométriques on voit bien que le coefficient directeur d'une d'une droite qu'on construit sur le sarc trigonométriques peut aller de 2 de la verticale décroissante jusqu'à tendre vers la verticale croissante donc l'image de la fonction tangente c'est tout l'ensemble de tous les réelles ensuite la fonction arc tangente là on a un petit défi qui s'impose on voit visuellement que son domaine c'est tout les réelles et son image s'est limitée entre - qui sur des pieds sur deux et comment est ce qu'on obtient sa alors le domaine de dark tangent témoins il s'agit de l'image de la tangente car arc tangente prend n'importe quelle valeur de ton genre qui existe et il lui a ceci l'angle qui a pourtant jantes ce nombre là donc on va partir de n'importe quel réel allant de moins l'infini à plus infinie et on va poser la question à partir d'une valeur de tangente qui est qui est un de ces nombres réels qu'elle est l'angle qui a cette tangente et là on voit qu'on a une infinité de choix possibles par exemple qu'on a une tangente de -2 il ya une infinité de points ici qui ont une ordonné de -2 et la la la propriété fondamentale d'une fonction c'est que à chaque élément elle associe un une image unique donc il faut qu'on limite la fonction tangente à une portion ici à une portion où chaque valeur de tangente a un antécédent unique correspond à un angle unique et là on peut définir la fonction arc tangente et par convention ont choisi l'intervalle allant de - pied sur de hacker sur deux donc voilà l'image de deux arcs tangente qu'on retrouve évidemment ici une fois contrat sarc tangente l'image des arcs tangente et donc l'intervalle allant de - pis sur 2 ha pis sur deux exclus alors respire maintenant un bon coup et essayer de digérer ce que je viens de t'expliquer car tu va maintenant appliquer cette même logique à la fonction f comment est ce qu'on trouve sa réciproque tout comme on a trouvé la réciproque de de tangente là on a une fonction qui est assez similaire à à tangente c'est la même chose que tangente 2x sauf qu'on l'a déplacé sa courbe de trois pieds sur deux unités vers la droite et six unités vers le haut en fait ce que tu dois faire c'est imaginer que cette portion de courbes en c'est celle là qui nous intéresse pour pour trouver la réciproque on va ignorer toutes les autres car il faut il faut de toute façon les exclure du domaine pour que la réciproque existe déjà il faut imaginer cette portion de courbes qu'on déplace de trois pieds sur deux unités vers la droite on est à peu près on a à peu près là disons ça c'est une translation horizontale de trois pieds sur deux et une translation verticale de six unités vers le haut donc le centre de cette courbe apparaît maintenant ici et on a une courbe qui va ressembler à ça voilà je te demande à présent du coup un petit effort de visualisation ici on a y est égal à f2 x sa courbe représentative qui est une courbe allant de moins à l'infini vers le bas ici jusqu'à + l'infini vers le haut donc ce ce moins l'infini jusqu'à + l'infini ça ce sera le domaine de de la fonction réciproque de le domaine de la fonction réciproque de f sera donc tous les réelles parce qu'on voit que cette fonction f peut prendre n'importe quelle valeur allant devant l'infini à + l'infini et par ailleurs cette fonction est fait bien ce motif on a une réplique à l'infini à droite et à l'infini à gauche comme la fonction tangente qui va qui va être cyclique de cette manière sauf que pourra pour avoir une fonction réciproque défini eh bien il faut qu'on limite cette fonction est vrai qu'on limite son domaine à cet intervalle là et cet intervalle là sera donc l'image de la fonction réciproques afin qu'on ait une fonction bij et ctive c'est à dire que sur cette portion de f chaque valeur de f aura un antécédent unique et là on peut définir sa réciproque à partir de cette portion est donc l'image de la réciproque de f eh bien ce sera cet intervalle là et comment est ce qu'on détermine cet intervalle vas tu vois que c'est le même que celui là l'image de deux arcs thann sauf que ça a été déplacé deux trois puis sur deux vers la droite en fait la contrainte sur x est la suivante il faut que ce qui est à l'intérieur de la fonction tangente ce x moins trois pieds sur deux est bas on applique la même règle qu'avant qu'on avait appliqué à la fonction tangente il faut que ce qui est à l'intérieur de la fonction tangente soit compris entre - qui sur deux et pied sur deux quel que soit ce nombre qu'on l'appelle x ou qu'on l'appelle x moins trois pieds sur deux et du coup la contrainte sur xla suivante lorsqu on isole x davantage en additionnant 3 puis sur deux de chaque côté des inégalités on obtient à gauche - pis +3 puis donc deux pieds sur deux c'est à dire pis et à droite puis +3 pis c'est à dire quatre plis sur deux donc deux pie x doit être compris entre pie ici et deux pieds je vais faire en vert pour qu'on le voit mieux puis ici et deux pays là il faut que xv a compris sur cet intervalle pour que la fonction f ici présentes et une réciproque donc l'image de la réciproque est bien celle intervalle allant de pi jusqu'à deux pays exclus voilà donc maintenant on a trouvé le domaine et l'image de de la réciproque trouvons maintenant son expression alors pour cela il ya la technique qui consiste à écrire donc y en fonction de x je lui faire dans en blanc y en fonction de x ou y est égal à tangente 2x moins trois pieds sur 2 + 6 donc là j'ai un élément du domaine auxquelles j'associe un élément de l'image est bien le but c'est d'intervertir x est vrai qu'en fait ça veut dire d'isoler x pour avoir un élément de l'image auxquelles j'associe un élément du domaine et là c'est la définition de la fonction avec ses proches donc tentons d'isoler x pour cela première étape on va soustraire si ce des deux côtés on obtient une équation équivalente qui à ceux ci y ax qui est y -6 est égal à tangente 2x moins trois pieds sur deux est alors maintenant ce qu'on va faire et c'est là l'opération crucial de cet exercice c'est de prendre arc tangente de chaque côté de l'équation et j'ai le droit de faire ça arc tangente de y -6 donne baarck tangente de la tangente donc l'oncle lui même et là j'ai le droit de faire ça justement seulement si je limite x à cet intervalle là autrement ça ne marche pas on voit bien que arc tan de n'importe quel nombre peut exister seulement si ce nombre-là est compris entre - pis sur deux épis sur deux donc x compris entre entre pied depuis donc ici je dois le spécifier que j'ai j'ai imposé cette nouvelle contrainte sur x alors qu'il n'y en avait aucune avant x pouvaient être n'importe quel réel sauf les piqûres de plus qu'a pu jusqu'ici et l'agent pose cette contrainte sur x attention x doit être compris entre pied depuis pour que je puisse écrire arcanes de chaque côté très bien il nous reste maintenant une étape pour complètement isolé x et on a x est égal à arques thann 2 y -6 +3 puis sur deux jeux juste additionné trois pieds sur des deux côtés et j'obtiens du coup finalement que la réciproque de f est égal à cette expression arc tan 2x moins six +3 puis sur deux et voilà ma réponse finale l'expression de la réciproque de f qui a ce domaine tous les réelles et cette image l'intervalle allant de pied jusqu'à deux pays exclus et finalement avant de clôturer cette vidéo je vais te montrer à quoi ressemble cette cette fonction cette fonction f - 1 eh ben tu remarqueras que c'est la même chose que la fonction arc tan qui a subi de transformations une translation de ses unités vers la droite et de trois pieds sur deux unités vers le haut ça veut dire que ici la fonction arc d'année sont et le centre de sa courbe ici je vais l'appeler le centre de sa courbe et ben on déplace ce point-là de ses unités vers la droite et de 3 puis sur deux unités vers le haut et on obtient le centre de la réciproque de f ici arc tan 2x moins six +3 puis sur deux et à quoi est-ce que ça va ressembler à droite et à gauche de ce point il a exactement la même chose que hart lane donc on va avoir cette forme là et voilà l'âge et la représentation de la réciproque de f et je remarque je remarque qu'elle respecte bien une propriété des fonctions réciproque cette courbe qui est que la courbe de f - et symétrique à la courbe de f par rapport à sa taxe y est égal à x