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Transcription de la vidéo

l'objectif de cette vidéo et de t'expliquer ce qu'est la fonction arc sin c'est quoi c'est la réciproque de la fonction sinus et tu vas voir ce que je veux dire par réciproque si tu n'as pas encore vu ce concept alors on va d'abord revoir tout ce qu'on sait sur la fonction sinus rejeté fait un rappel ans officie de la définition du sinus à partir du triangle rectangle du sarc trigonométriques et la représentation graphique de la fonction cygnus x et à partir de ça et bien tu vas comprendre ce qu'est la réciproque de la fonction sinus autrement appelée arc chine alors à partir au triangle rectangle d'abord c'est le plus facile lorsque tu as un an que tu es tu as tu sais dans là que la partie soca tôt à la partie saut de saucats haut à te dis que le sinus de cet état c'est la longueur du côté opposé / l'hypothénuse je les écris ici sinus de l'état est égal à opposer sur epoté news et bien la fonction arx in situ injecte cette valeur dans la fonction arc sin arx in de cette valeur te donne quoi eh ben ça te donne tu es tu as en fête arc sim prend 1 sinus et te donne le thêta qui a ce sinus alors regardons maintenant ce que ça donne sur le cercle trigonométriques c'est un peu plus compliqué parce que là on va sur des ongles au delà de 90 degrés tu vas voir que ça change un peu la donne alors sur la sarre trigonométriques j'ai construit cet angle alpha cette fois qui est plus grand que l'on goûté tu as tu vois il est il est plus grand que pied sur deux il est entreprise sur deux épis je prends cet angle alpha et tu as appris avec la définition à partir du cirque trigonométriques que lorsque je prends ce point à qui a été construit à partir de cet angle d'état si je prends leur donner du point à que j'ai appelé ici est vrai qu'à et ben ça c'est le sinus de alpha l'ordonné de ce point a donc là tu me diras d'accord j'ai compris ce que va faire la fonction arc sin je vais injecter y a dans la fonction arc sin et ça devrait me donner alpha 1 à partir d'un sinus j'obtiens l'angle qui associe nuss et bien là il ya un truc auquel tu as pas fait gaffe il faut faire attention c'est que il y a deux angles qui ont ce sinus et là ça complique les choses tu vois il y à ce point à prime ici et cet angle alpha prime est bien le sinus de alpha prime il s'agit aussi de y/y à y imprime c'est la même chose lors donner deux à et de la prime c'est la même chose donc il y a deux angles qui ont ceci dit et tu verras que alpha prime on le retrouve ici aussi et que en fait alpha prime on peut l'exprimer en fonction d'eux alpha il s'agit de cli - alpha très bien donc qu'est ce qu'on fait maintenant qu'on a deux choix est-ce que je dois donner alpha ou pis - alpha quand j'applique arx in à cette valeur quand j'injecte jean-jacques cette valeur dans la fonction arc s'il est bien il faut faire un choix est le choix qui a été fait par les mathématiciens c'est de limiter l'ensemble images entre - puis sur deux épis sur deux et donc de ne s'intéresser que aux angles qui sont dans la partie droite du cercle trigonométriques et d'ignorer tous les angles qui sont entrepris sur deux et trois pieds sur deux voilà on pas de cela on avait le choix quelque part entre - qui sur deux et trois petits sur deux de prendre soin ce demi cercle la soie ce demi cercle là et on a pris celui de droite donc lorsque j'ai y a ici dans ce cas particulier je ne vais pas donner alpha comme angle en injectant dans la fonction arc sin mais cet angle de pi - alpha sy - alpha mais on va faire plusieurs exemples plus tard et tu vas voir que ça va devenir facile pour toi maintenant à partir du graphique de la fonction sinus je sais que visuellement il ya une explication à ce haut fait qu'on a fait un choix ici c'est que il faut qu'on choisisse une fois de plus une portion courbe où chaque image a un antécédent unique 1 il ya que les bij hexion qui ont une âme qui ont une fonction réciproque donc là si je vais trouver la réciproque de sinus à partir de cette courbe ben tu vois que c'est pas possible parce que j'ai une infinité de points qu'ils ont un certain sinus donc donc il va falloir que je lis l'ensemble images de deux arcs sin et là tu vois par exemple j'ai représenté une nouvelle fois teta et alpha sur l'ex dx11 qui représente tous les angles possibles donc là j'ai placé cet état là eh bien lorsque je place l'état ici et que ensuite je cherche le point sur la courbe qui correspond à mon angle de teta est bien là je tiens sinus de teta voilà ce que me fais ma fonction cygnus x hélas si je fais l'opération inverse bon je vais reprendre je vais partir d'ici trouvez ce point et je vois ah bah voilà ces longues luttes et acquis à ce sinus par contre pour alpha qui se trouvent ici est bien là tu les vois les deux choix ici c'est alpha est ici seppi - alpha et bien comme je t'ai dit on a choisi d'ignorer toute la partie de la courbe qui est à droite de cette ligne est là du coup si je ceci newalpha et dans ce que la fonction arc sin va me donner c'est cet angle là cet angle là qui correspond à pied - alpha voilà ce que va me faire ma fonction arc sin si je lui donne sinus de l'angle alpha et voilà ce que fait la fonction arc sinon qu'elle prend n'importe quelle valeur entre -1 et un sas et le domaine de la fonction arc chine et elle va faire l'opération réciproque de l'opération de la fonction sinus en limitant le résultat à un angle entre - pis sur deux et pis sur deux ici puis sur entre - pied sur deux et pied sur deux donc entre ces deux droites verticale et là on voit que effectivement sur cette portion courbe de la fonction sinus et ben oui effectivement chaque image a un antécédent unique donc j'ai le droit de définir une fonction réciproque à partir de cette portion là qui se trouve entre - pied sur deux et pied sur deux pour récapituler lorsque j'ai le sinus d'un angle et que je prends l'arc sinus de ce sinus et bien je peux obtenir deux choses possibles soit j'obtiens l'angle lui anne soit j'obtiens x 6 x se trouve dans cette portion de courbes dans cette portion du sart trigonométriques entre - pied sur deux épis sur deux soit j'obtiens une autre possibilité qui épie - x 6 x se trouve entre pied sur deux et trois pieds sur deux sur cette portion et tu oublieras qu'est ce qui se passe si j'ai un angle inférieures à - qui sur 2 ou supérieur à 3 puis sur deux et vingt d'abord je prends l'angle équivalent qui est entre - qui sur 2 et 3 qui sur deux est ensuite j'applique la fonction arc sin donc là voilà je te le rappelle pour un angle qui est entre eux puis entre pie sur deux et trois pieds sur deux par exemple cet angle là et bien l'arc sin de ça ça va me retourner cet angle là cet angle là qui est la même chose qu'eux qui - l'angle voilà donc la rhk sinus de sinus 2x et soit x soit puis - x et là on va faire quelques exemples pour encore mieux s'en rendre compte alors sinus de moins puis sur quatre là tu connais cette valeur il s'agit de - racines de 2 sur 2 tu sais que pied sur quatre il est ici et son sinus ici c'est ces races - racines de 2 sur dur on est du côté négatif des y et donc ensuite si je prends arc sinus de ce mois racines de deux sur deux donc là je suis à moi racines de 2 sur 2 je prends la portion à droite du cercle trigonométriques oui c'est bon je retombe sur - pis sur 4 je retombe sur mes pattes donc dans ce cas là on a bien arx arc sinus de moi racines de 2 sur 2 on retombe sur - pied sur quatre sur le x à la base qu'est ce qui se passe lorsqu'on prend 4 qui sur 3-4 qui sur trois c'est la même chose que pi plus pied sur trois donc je fais pipi plus 60 degrés je tombe à peu près ici cet angle là ici c'est 4 qui sur trois et je sais que le sinus de cet angle ses racines de 3 sur deux enfin - racines de 3 sur demande et sur le côté de négatif d y - racines de 3 sur deux c'est un angle spéciale on retrouve ici le fameux sinus de pied sur trois qui est racines de 3 sur deux est bien là on est du côté opposé et on est ici alors maintenant disons que j'ai un gect - racines de 3 sur deux dans la fonction arc sinus et ben il va pas me donner quatre pieds sur sur trois parce que là on est du côté gauche du cercle et l'homme donné cet angle là qui est la même chose que pi moins quatre cas sur 3 ou autrement dit c'est la même chose qu'eux - pis sur trois ici c'est un angle de moins 60 degrés on arrive à bien le voir sur le sert trigonométriques alors maintenant pour sept pieds 7 pouces la même chose que trois tours complets c'est à dire 6 pi plus encore un demi tour donc c'est la même chose que pi cet angle là il est égal à py ok pour garder des ondes qui sont entre eux entre pour revenir à des hommes qui sont entre - pied sur deux et trois pieds sur deux ok donc sinus de pisser gala combien c'est égal à zéro l'ordonnait de ce point c zéro est une fois de plus cela on est du côté gauche du sart trigonométriques donc là si je prends arkin 2 0 il ne veut pas me donner pis mais il va me donner 0 pieds ici donc arx in 2 0 est égal à zéro 6 sur 6 6 sur 6 il est là il est là c'est un signe ce qui est bien connue qui vaut un demi et si je prends arkin de 1/2 et ben je vais aller du côté droite du cirque trigonométriques et je retombe sur pied sur six donc voilà encore un cas assez simple ou arc sin de sinus 2x et ben on retourne sur x mais tu vois que ça n'a pas toujours été le cas et finalement cette qui sur 6 pour finir notre petit entraînement ici sinus de 7 6 sur 6 sait combien ces six pieds sur six donc pis auxquels j'ajoute encore une nouvelle fois pieds sur six dont on tombe à peu près sur cette droite bleus ici là on est à 7 pi sur six et on sait que le sinus de cette fissure cissé - 1/2 on est de ce côté là on est du côté négatif d y est arc sin de -1 2 me eh bien on tombe pas sur cette piste sur 6 mais on tombe du côté opposé ici on a un symétrique et on obtient cet angle là qui est égal à - pied sur six voilà qui est la même chose que piment 7 pi sur six est ici du coup on est à moins 10 sur six ont appris le sinus de cette paix sûre si on a obtenu moins un demi et ensuite on a fait l'opération réciproque on apprit arc sindeu - 1/2 et au lieu de retomber sur sept qui sur cissé ben on tombe sur - pied sur six qui est dans cet intervalle entre - pied sur deux épis sur deux et voilà j'espère que tu as compris ce qu'est la fonction arc sin et le fait qu'on a limité l'ensemble images de cette fonction afin de pouvoir justement obtenir une réciproque valable de la fonction sinus