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Transcription de la vidéo

l'objectif de cette vidéo et d'expliquer ce qu'est la fonction arc thann et en fait je vais passer la plupart du temps à expliquer ce qu'est la fonction tangente et ensuite on va conclure ce qu'est la fonction arc dang et la réciproque de la fonction tangente en fait donc pour bien comprendre ce qu'est la fonction tangente on va repartir du cercle trigonométriques et on va former un angle teta avec une droite au avons là je suis appuyé sur quatre mais restons dans le cas général et appelons cet angle et a gelé formait avec cette droite aux as voilà la droite au à format donc teta par rapport à l'ex dx et on sait que l'abscisse du point à ça correspond aux caussinus de teta kla g caussinus de teta ici et leur donner du point a ici donc sept longueurs la correspond aux sinus de l'angle d'état et qu'est ce que la tangente de l'angle détail bas rappelle toi de toa dans ce cas tôt à tangente s'est opposée sur adjacent donc ses sinus sur caussinus la tangente de teta c'est le sinus de teta / le cosinus de teta et ça c'est une définition qui ne vaut pas que pour les angles allant de 0 à 90 mais pour n'importe quel angle ayant n'importe quelle valeur réelle et donc une propriété qui devrait te sauter aux yeux une fois que tu vois sa sinusite et assure caussinus tu es tu as tu vois aussi que par rapport à la droite oa et ben il s'agit de la différence d ordonner sinus l'état ici / la différence des abscisses en trop et à caussinus de teta ici différence d ordonner / différence des abscisses ça nous rappelle quelque chose oui c'est le coefficient directeur coefficient directeur de la droite aux as et ça c'est une manière très pratique de visualiser ce qu'est la tangente d'un angle en fait il s'agit du coefficient directeur d'une droite alors maintenant qu'on a qu'on a dit ça trouvons la tangente de divers angles partons de zéro l'ongle 0 tangente 2 0 ses sinus 2 0 / caussinus de zéro donc 0 sur 1 c'est bien 0 et effectivement on a une droite horizons donc à un coefficient directeur de 0 tangente de pied sur quatre donc là je suppose que tu connais par coeur maintenant là le sinus et le cosinus de deux pistes sur quatre il s'agit de racines de deux sur deux pour le sinus et de racines de deux également pour le cosinus deux pistes sur quatre donc on divise un nombre par par le même on obtient donc un rapport de 1 et effectivement cette droite qui passe par par ce point à oujé format un ongle de pied sur quatre avec l'ex dx et bien c'est la droite d'équations y est égal à x qui a un coefficient directeur de 1 alors maintenant ça se complique quand on arrive à pied sur deux parce que la fonction pip sur deux n'est pas défini la tangente n'est pas défini pour teta est égal à pied sur deux pourquoi parce que le cosinus de piste sur deux est égal à zéro et je suis en train de faire une division par zéro et ça on n'a pas le droit en mathématiques par contre ce que j'ai le droit de faire c'est de m'arrêter juste avant c'est à dire de me rapprocher autant qu'on veut de pi sur deux mais je tends vers pis sur deux - et qu'est ce que ça veut dire cette notation mathématiques ça veut dire que je m'approche autant que je veux de pied sur deux mais sans jamais l'atteindre et donc la tangente de teta dans ce cas là ce sera le coefficient directeur de cette droite là qui est très proche de la verticale aussi proches que l'on veut de la droite verticale mais sans jamais l'atteindre et on voit que cette droite en le coefficient directeur qui tend vers l'infini donc ici tangente de teta tend vers l'infini quand tu es à temps vers pied sur deux - et qu'est ce qui se passe quand je tendais repli sur de plus donc juste après qui sur deux est bien là j'ai une soudaine discontinuité au lieu d'avoir un coefficient directeur d'une droite qui tend vers l'infini et ben j'ai un coefficient directeur d'une droite qui tend vers moins l'infini tout à coup tu le vois c'est une droite quasi verticale mais qui est décroissante cette fois ci donc tangente de teta lorsque tu es tu attends vers pied sur deux plus donc juste après pis sur deux est bien tangente de teta tend vers moins l'infini passons à la suite tangente de trois pistes sur quatre eh ben on à racine de 2 / 2 / - racines de 2 sur 2 ça fait moins 1 et effectivement on a six ont tracé cette droite on voit que c'est la droite d'équations y ait des galas - ex coefficient directeur - 1 tangente de pied ça fait zéro on retourne à la droite horizontale tangente de moins trois pieds sur quatre on est sur cette même droite au a donc on a un coefficient directeur de 1 puis quand on arrive à - pied sur deux - donc juste avant moi un pied sur deux on est sur cette droit de rouge donc quand tu es tu attends vert - pis sur deux - et bien tangente de teta tend vers plus l'infini et lorsqu'on dépasse pied sur deux là tout à coup on a une discontinuité est en jambes de teta tend vers moins l'infini et enfin tangente de moins puis sur quatre on est sur cette même droite qui avait un coefficient directeur de -1 en fait on est à moins racines de 2 / 2 / racines de 2 sur 2 donc tant la tangente et 2 - 1 et voilà on a complété un tableau de valeur maintenant qui va nous permettre de représenter la la fonction tangente sur ce repère alors la fonction tangente elle ressemble à quoi on voit déjà que on a des asymptote verticale à - pis sur deux est appuyé sur deux donc je vais les tracés des maintenances et asymptote à ces les deux droites verticale d'équations x est égal à - puis sur 2 et x est égal à pied sur deux on voit que ici et la fonction tangente n'est pas défini donc je n'aurai pas de valeur pour la fonction tangente mais juste avant et juste après je vais tendre vers plus l'infini et moins l'infini respectivement et je sais que tangente 2 0 est égal à zéro donc ce point et sur la courbe que tangente deux pistes sur quatre est égal à 1 donc si puis sur quatre est ici qu on place un ici et on va du coup placé - ici et bien ce point et sur la courbe est d'ailleurs on voit que tant jean ii - pied sur quatre et des galas -1 donc - puis sur quatre c'est ici - puis sur quatre - ans est là et bien voilà on a eu une idée de ce à quoi ressemble tangente de teta entre - pied sur deux pieds sur deux et en faisant le lien entre ce tableau de valeur et cette courbe que je suis en train de tracer tu verras que ce motif est bien ce motif ils répètent à l'infini à droite et à gauche on va avoir une affinité d'asand petiote à chaque fois à pied sur deux plus qu'à pis je vais pas la dessiner aussi loin je vais m'arrêter un peu avant voilà on a ce motif au centre ici qui va se répéter à l'infini à gauche et à droite et voilà ce à quoi ressemble y est égal à tangente 2 x sur un repaire xy lorsqu'on fait la courbe représentatives de la fonction alors quid de la fonction arc tan maintenant on a vu qu'à partir d'un an je peux obtenir sa tangente en appliquant cette définition ici eh ben la fonction arc nadal pose la question réciproque à celle ci c'est à dire à partir de la tangente d'un angle j'aimerais déduire l'angle qui a cette tangente voilà ce qu'est la fonction arc telle opération qu'elle effectue donc par exemple elle prend une valeur comme un et elle pose la question quel est l'angle qui a pourtant jantes 1 réponse qui sur quatre hélas ce à quoi il faut faire attention c'est que hebinger plusieurs choix gepi sur 4 + capi quel que soit 40 y relatifs en fait j'ai moins trois pieds sur quatre qui a une tangente 2 1 j'ai aussi 5 pi sur quatre qui a une tangente 2 1 et je peux ajouter autant de fois que je veux le nombre pi et je tiendrai toujours une tangente 2 1 et ben pourquoi est-ce-que a recadré pompiers sur quatre est pas autre chose alors déjà c'est parce qu'une fonction ne peut donner ne peut répondre qu'une seule chose pour chaque pour chaque valeur qu'on injecte dedans et vu cette règle fondamentale que doit respecter toutes les doivent respecter toutes les fonctions il m'a il a fallu faire un choix et les mathématiciens ont choisi de limiter l'ensemble images des arcs thann à tous les angles allant de - pied sur deux jusqu'à pis sur deux donc on va aller 2 - pis sur deux plus ça veut dire que la heart and on va pouvoir injecter en fait n'importe quel réel dedans parce qu'on va de moins l'infini jusqu'à + l'infini ici en arrivant jusqu'à puis sur deux - et on va passer par hart lane 2 0 est égal à zéro arc thann 2 - 1 est égal à - pied sur 4 art and 2 1 est égal à pied sur 4 et finalement on va arriver à arcanes d'un nombre très grand qui va s'approcher de pi sur deux et voilà comment je vais construire ma fonction arc table je sais que elle va varier de moins pied sur deux jusqu'à pis sur deux et donc elle va être incluse entre ces deux asymptote c2a symptômes horizontale cette fois et pour obtenir la fonction arc talent et ben je vais partir de la fonction tangente en fait et je vais dessiner son symétrique par rapport à cet axe bleus par rapport à cet axe y est égal à x ça c'est la propriété des fonctions réciproque donc voilà j'ai tout ce qu'il me faut pour tracer ma fonction arc tan maintenant je sais que lorsque x tend vers l'infini arc tan va tendre vers - pied sur deux juste au dessus elle va passer par 0 puis elle va tendre vers pis sur deux juste avant pied sur deux au fur et à mesure que x devient de plus en plus grand et aussi grand que l'on veut et voilà la courbe représentatives de la fonction arc thann 2 x et j'espère que cette vidéo tu auras aider à cons rendre davantage comment est-ce qu'on définit la fonction tangente et la fonction arc tangente