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Sommation de couronnes autour d'un axe vertical - partie 1

Écriture d'un intégrale définie pour le calcul du volume d'un solide de révolution autour d'un droite verticale, à l'aide de la méthode du "disque" ou de la méthode des " couronnes". Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo nous allons faire tourner la région qui se trouve l'air qui se trouve comprise entre ces deux courbes que tu vois là sur le dessin de gauche et nous allons la faire tourner autour d'un axe vertical qui n'est pas l'axé des ordonnées qui est l' axe x égal de 1 celui que j'ai dessiné tout à droite ici donc on va faire tourner comme ça et le solide que nous allons obtenir j'ai essayé de le dessiner à droite c'est un fait insolite de révolution avec un trou au milieu qui s'élargit à fait au fur et à mesure que l'on descend et qui a cette formule a une drôle de bagues ou je sais pas quoi on est c'est une scène insolite voilà qui a à peu près cette forme là et ce solide on voit on voit qu'on peut le décomposer en somme de petit couronne cylindrique qui s'empilent les unes sur les autres donc on va calculer ce solide comme somme de petit couronne cylindrique empilées les unes sur les autres de taille infinitésimale d'épaisseur infinitésimale et là c'est le moment que je craignais c'est le moment où je vais devoir en dessiner une voilà un an que je dessine d'abord le rayon du trou au milieu de la couronne cylindrique je dessine d'abord le trou au milieu de la couronne cylindrique et ensuite la couronne cylindrique là autour de ce trou je dessine une petite couronne cylindrique élémentaire je pense que j'ai pas trop mal réussi mon coup ok et cette petite couronne cylindrique elle a une épaisseur une épaisseur comme on est le parallèle à l'axé des ordonnées on va appeler cette épaisseur d y j'essaye de la représenter ici voilà comme ça pour donner une impression d'épaisseur et de relief et voilà en fait en fait c'est obtenus par cette couronne cylindrique elle est obtenue en faisant tourner le petit rectangle élémentaires que je trace ici sur le dessin de gauche en faisant tourner autour de l' axe de symétrie qu'on a choisis autour de l'aqsiq segal de qu'on a choisi on obtient cette petite cette petite couronne cylindrique et on peut concevoir ce solide de révolution dans un essai de calculer volume comme plein de petit couronne cylindrique comme ceux-ci empilées les unes sur les autres et quand on fait tendre le nombre de couronnes cylindrique vers l'infini et l'épaisseur de chaque couronnes vers zéro eh ben on sait le principe de l'intégrale de riemann on va obtenir exactement le volume que l'on cherche donc première étape on calque cette intégrale et deuxième étape dans la prochaine vidéo on écrit cette intégrale et dans le deuxième étape dont je la prochaine vidéo on calculera sa valeur donc voilà qu'elle pourrait bien être la formule du volume de cette petite couronne cylindrique et comme on est comme on travaille suivant d y c'est à dire quand on travaille parallèlement axes d ordonner baffles doutes exprimés en fonction d'eux y est donc au lieu de se donner y égale racines de ic je vais vous donner l'expression de la fonction sous forme x égale une fonction de y est là c'est facile j'élève les deux membres au carré ça nous donne x égale y carrés ainsi y est égal à racine de x alors forcément x est égal à y carré et là moi je suis intéressé mais vu le sens de mon axe de symétrie a exprimé x en fonction d'eux y et non pas y en fonction de x de la même manière pour l'autre fonction y est gallix carré 1 je vais exprimer x en fonction d'eux y et j'obtiens que ça veut dire que x est égale à la racine carrée de y voilà ça c'est la fonction qu'on a dessiné en dessous j'ai fait j'ai écrit de la même couleur que le dessin est donc en quoi ces fonctions de vente elle nous aider pour calculer le volume 2 de cette couronne cylindrique 1 le volume c'est l'ère de la base fois la hauteur parce qu'une couronne cylindrique est un prisme ses terres de la basd a que je j'ai assuré en orange et ses terres de la base comment est ce que je vais la calculer et bien l'air de la base c'est la différence entre l'air de disques entre l'ère du disque extérieur et l'air du trou qui est au milieu donc l'ère du disque extérieur l'air d'un disent sceptiques fois rayon carrés dont claire du dic ce qu'est ce qui est extérieur si j'écris bien dans le détail cbi fois le rayon extérieur le plus grand rayon au carré a donc pu fois le plus grand rayon au carré ça ça me donne l'air de tout le cylindre s'il n'y avait pas le trou au milieu et je dois retirer l'air du trou donc pie x le rayon intérieure au carré et maintenant il ne reste plus qu'à exprimer quel rayon extérieur et quel rayon intérieur eh bien quelle formule vont nous donner sa sas villejust à lisa c'est bien sûr les dessins voilà le rayon extérieur je leur présente ici et quand je leur présente ici je m'aperçois que mon rayon à l'extérieur y part de 2 ma fonction et il arrive jusqu'à l' axe de symétrie cpt donc c'est la distance qui sépare la distance la différence entre les abscisse de l' axe de symétrie c'est à dire 2 et de la fonction est ici là sur ma fonction je suis une actrice de x mais mon x comme j'ai dit guillaume exprimé en fonction d'eux y je vais dire que je suis à une absence de y au carré donc c'est la distance c'est la différence entre 2 et y au carré qui aimons qui aimons abscisse l'a donc mon rayon extérieur ça va être deux - y au carré voilà on a exprimé donc notre rayon extérieur le grand rayon de là le plus grand rayon de la couronne cylindrique en fonction de y on va faire exactement la même chose avec le plus petit si je représente le plus petit rayon de le rayon du trou en fait si je leur présente ici je vois bien que c'est la distance qui sépare x égal 2 du x qui est sur ma fonction et le x qui est sur ma fonction âgées si je regarde un petit peu plus bas je vois que mon x ses racines de y donc c'est la distance la distance de moins racines de y entend quand on veut la distance entre deux nombres ont soustrait ces deux nombres ans le plus grand - le plus petit en général d'accord et là maintenant on a les rayons il reste plus qu'à re substituer dans la formule du rayon et on va avoir notre ère donc notre rc pie x rayon extérieur au carré donc c'est pie x notre rayon extérieur c 2 - y carré et tout ça il faut encore leur mètre au carré pour avoir l'air du disque et on retire l'ère du trou c'est à dire pie x rayon intérieur c'est à dire 2 - racines de y le tout au carré 1 et voilà ça c'est l'air d'une de la base d'une couronne cylindrique en fonction exprimé en fonction d'eux y est maintenant si je veux le volume d'une couronne cylindrique c'est évidemment l'ère de la base x la hauteur et la hauteur c'est exactement là ce que nous avons appelé des y un changement infinitésimale en y dont jeu multiple et tout ça par des y et lorsque je multiplie tout sa part d y ça me donne bien le volume d'une petite couronne cylindrique et je veux additionner c'est à dire faire l'intégrale de tous ses volumes de petit couronne cylindrique en faisant entendre en faisant de leur épaisseur vers zéro donc c'est effectivement les l'intégrale et l'intégrale ah oui l'intégrale de quoi quoi je me suis pas encore donné mon intervalles donc c'est le monde intervalle va être délimitée par les endroits où les deux courbes y est gallix carré et grecs égale racines de x se croiser bon ça ça peut se faire deux têtes c'est juste résoudre l'équation attention résout l'équation en y donc c'est pour y variant entre 0 et 1 il se trouve que x aussi varie entre 0 et 1 mais là c'est y qui nous intéresse donc ça c'est la formule de notre volume se calculer cette intégrale va nous donner le volume du solide de révolution que l'on cherche et c'est ce qu'on va faire dans la vidéo suivante