Intégrale et aire sous une courbe

Dans tous les exercices de cette leçon, le domaine dont il faut calculer l'aire, ou l'une des parties de ce domaine, est soit un rectangle, soit un triangle, soit un demi-cercle. On peut donc calculer la valeur exacte de son aire.

N'oubliez que si le domaine d'aire $A$‍, délimité par la courbe de la fonction $f$‍, l'axe des $x$‍ et les droites d'équations $x=a$‍ et $x=b$‍, est situé en dessous de l'axe des abscisses, alors l'intégrale de $f(x)$‍ de $a$‍ à $b$‍ est égale à $-A$‍.

On colorie le domaine délimité par la courbe représentative de $f$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-6$‍ et $x=1$‍ :

Le domaine est constitué d'un triangle  et d'un rectangle dont on calcule les aires :

On colorie le domaine délimité par la courbe représentative de $f$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$‍ et $x=4$‍ :

On calcule l'aire de ce triangle :

Attention : Le domaine est situé en dessous de l'axe des abscisses, donc l'intégrale est égale à l'opposé de l'aire du domaine.

On colorie le domaine délimité par la courbe représentative de $f$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-6$‍ et $x=4$‍ :

On a déjà calculé que :

L'intégrale de la fonction sur l'intervalle $[-6;1]$‍ est égale à $27,5$‍ unités d'aires.

L'intégrale de la fonction sur l'intervalle sur l'intervalle $[1;4]$‍ est égale à $-7,5$‍ unités d'aires.

Donc, l'intégrale de la fonction sur $[-6;4]$‍ est égale à $27,5+(-7,5)=20$‍ unités d'aires.

On colorie le domaine délimité par la courbe représentative de $g$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-7$‍ et $x=-1$‍ :

On calcule l'aire d'un demi-cercle de rayon $3$‍ :

Attention : Le domaine est situé en dessous de l'axe des abscisses, donc l'intégrale est égale à l'opposé de l'aire du domaine.

On colorie le domaine délimité par la courbe représentative de $g$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$‍ et $x=8$‍ :

On calcule l'aire de ce triangle :

On colorie le domaine délimité par la courbe représentative de $g$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-7$‍ et $x=8$‍ :

On a déjà calculé que :

L'intégrale de la fonction sur l'intervalle $[-7;-1]$‍ est égale à $-{\displaystyle \frac{9}{2}}\pi$‍ unités d'aires.

L'intégrale de la fonction sur l'intervalle $[-1;8]$‍ est égale à ${\displaystyle \frac{27}{2}}$‍ unités d'aires.

Donc, l'intégrale de la fonction sur $[-7;8]$‍ est égale à $-{\displaystyle \frac{9}{2}}\pi +{\displaystyle \frac{27}{2}}$‍ unités d'aires.

On colorie le domaine délimité par la courbe représentative de $h$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-7$‍ et $x=-2$‍ :

On calcule l'aire de ce trapèze :

Attention : Le domaine est situé en dessous de l'axe des abscisses, donc l'intégrale est égale à l'opposé de l'aire du domaine.

On colorie le domaine délimité par la courbe représentative de $h$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-5$‍ et $x=1$‍ :

L'un des deux trapèzes qui constituent le domaine est au-dessus de l'axe des abscisses et l'autre est en dessous. Or ces deux trapèzes ont la même aire, donc l'intégrale est égale à zéro.

On colorie le domaine délimité par la courbe représentative de $h$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$‍ et $x=8$‍ :

On calcule l'aire du rectangle diminuée de l'aire du demi-cercle :