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Cours : 6e année secondaire - 2 h > Chapitre 2

Leçon 3: Expérience et schéma de Bernoulli

Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale

Exercice 1 - Une histoire de lancers francs

Enzo réussit

90 %

de ses lancers francs. Il s'apprête à faire

3

lancers francs. On admet que le résultat d'un lancer franc est indépendant du résultat du lancer précédent.

Il veut savoir quelle est la probabilité qu'il en réussisse $2$ ‍ sur les $3$ ‍.

On réfléchit à tous les cas possibles.

exercice A

S'il réussit $2$ ‍ lancers francs, combien en aura-t-il raté ?

exercice B

Quelle est la probabilité qu'il réussisse les deux premiers et rate le troisième ?
Arrondir la réponse au centième.

P (réussi, réussi, raté) =

exercice C

Le cas "réussi, réussi, raté" est une façon de réussir

2

fois sur

3

, mais ce n'est pas la seule.

Quelle est la probabilité qu'il réussisse le premier lancer franc, rate le deuxième et réussisse le troisième ?
Arrondir la réponse au centième.

P (réussi, réussi, raté) =

exercice D

Le troisième cas possible est "raté, réussi, réussi".

Quelle est la probabilité qu'il rate son premier lancer franc et réussisse le deuxième et le troisième ?
Arrondir la réponse au centième.

P (raté, réussi, réussi) =

exercice E

Vérifier avec la formule des combinaisons qu'il n'y a que $3$ ‍ façons d'obtenir $2$ ‍ succès en $3$ ‍ tentatives.

(_{p}^{n}) = \frac{n!}{(n - p)! \times p!}

(_{2}^{3}) =

façons

exercice F

En déduire la probabilité qu'il réussisse 2 des lancers francs sur les 3.
Arrondir la réponse au centième.

P (réussir 2 des lancers francs sur les 3) = P (S S E) + P (S E S) + P (E S S)

P (réussir 2 des lancers francs sur les 3) =

Le schéma de Bernoulli

Cet exercice est un exemple de schéma de Bernoulli.

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres

n

p

la répétition de $n$ ‍ épreuves identiques
indépendantes deux à deux.
qui n'ont que deux issues, un "succès" ou un "échec"
et où $p$ ‍ désigne la probabilité d'un succès

La probabilité d'obtenir

k

succès est :

\begin{aligned} P (\overset{obtenir k}{succès}) \\ = (\overset{_{k}^{n}}{}) \times {(\overset{probabilité}{d’un succès})}^{(\overset{k}{})} \times {(\overset{probabilité}{d’un échec})}^{(\overset{n - k}{})} \end{aligned}

Dans le cas de l'exercice que l'on vient de traiter :

$n = 3$ ‍ lancers francs
chacun des lancers francs est "réussi" (succès) ou "raté" (échec)
la probabilité qu'il réussisse un lancer franc est $p = 0, 90$ ‍
on a admis que le résultat d'un lancer franc de dépend pas du lancer franc précédent

\begin{aligned} P (réussir 2 des lancers francs sur les 3) & = (_{2}^{3}) \times {0, 90}^{2} \times {0, 10}^{1} \\ = 3 \times 0, 81 \times 0, 10 \\ = 3 \times 0,081 \\ = 0,243 \end{aligned}

La formule est :

P (k succès) = (_{k}^{n}) \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k}

Vous allez pouvoir maintenant résoudre facilement l'Exercice

2

Exercice 2

Le petit frère d'Enzo, Lucas, n'a que

20 %

de chances de réussir un lancer franc. Il veut en faire

4

Quelle est la probabilité qu'il en réussisse $2$ ‍ sur les $4 ?$ ‍

P (réussir 2 des lancers francs sur les 4) =

Un dernier exercice

Enzo a promis à Lucas qu'il lui achèterait une glace s'il réussit au moins trois des lancers francs sur les

4

Quelle est la probabilité qu'il réussisse au moins $3$ ‍ des lancers francs sur les $4 ?$ ‍

P (réussir au moins 3 de ses 4 lancers francs) =

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