Primitives de 1/x

mais un autre but dans cette vidéo est de trouver la forme générale des primitives de la fonction 1 sur x geeks associant sur x peut aussi laisser écrire la fonction qui à iksan aux six puissances monza le problème c'est qu'on ne peut pas servir d de la formule des primitifs des fonctions puissance parce que ça nous donnerait x puissance 0 / 0 et on peut pas / 0 c'est pas défini il va donc falloir s'y prendre autrement et on peut se dire ah ben tiens je je connais une fonction dont la dérive et donne un sur xla fonction logarithme n'était rien donc je peux très bien dire puisque la dérive et la fonction logarithme n'était rien donne un sur x alors je peux très bien dire que la fonction la prime une primitive de la fonction assure x c est de la forme logarithme né paie rien de x + sais c'est pas forcément faux le seul problème c'est un problème de définition parce que la fonction kx associés 1 sur x et a pour domaine de définition tous les x n'ont nulle et défini pour chaque x différentes 0 alors que la fonction le regard ait mené paix rien elle elle est définie beaucoup pointent la moins largement elle est définit uniquement pour les x positif c'est à dire qu'on aurait considérablement restreints en passant la primitive le domaine de définition de la fonction alors on aimerait quand même trouvé une primitive de la fonction qui est x associe un sur x mais qui est le même domaine de définition qui est le domaine de définition x différentes 0 alors on y réfléchissant une idée ce serait de considérer le logarithme n'ont pas de x mais de la valeur absolue de x donc on va s'intéresser à cette fonction qui a x associe le logarithme de la valeur absolue de x on va se demander si ça pourrait pas être elle par hasard qui nous donnerait qui nous donnerait la forme générale des primitives de la fonction kyrix associe un sur x bien voici le graphe de la fonction logarithme né paie rien de x et donc on va essayer de se baser sur ce graphe c'est une fonction qui est croissante qui admet pour asymptote l'axé des ordonnées et qui croient de moins en moins vite au fur et à mesure que l'on progresse sur l'axé des abscisses maintenant que pourrait être le logarithme de la valeur absolue de x eh bien il coïncide avec le logarithme 2x pour x positif et pour x négatif pour x négatif la valeur absolue de x et la valeur absolue de son opposé donc il va y avoir une symétrie sur la courbe c'est ce qu'on appelle une fonction perd un le logar cette fonction à la même image de nombreux opposants la même image par cette fonction donc il va y avoir une symétrie par rapport à l'axé des ordonnées et donc je peux compléter la courbe de logarithmes de valeur absolue de x par symétrie par rapport à l'axé ordonné en partant de la courbe du logarithme n'est perriand de x voilà j'essaie de dessiner ça aussi symétrique que possible et donc en réunissant les deux parties de la courbe là en les réunissant toutes les deux un v colorier toutes les deux de la même couleur pour que ça fasse une seule et même courbe et bien ça c'est la courbe de logarithmes de valeur absolue 2x est donc cette fonction-là pourrait-elle être une primitive que nous cherchons à la fonction 1 sur x bien alors pourri que c'est égal à zéro on sait que c'est pour x positif pardon on sait que c'est vrai un pur x positifs déjà logarithme de la valeur absolue le hic c'est la même chose que le logarithme 2 x parce que l'eau pour x positif la valeur absolue de x os x est pareil d'accord c'est pour ça que la courbe coïncident et donc que ça dérive et un ca dérivés sera la même que la dérive et de de logarithmes 2x et ce sera bien un sur x et donc traces le graphe de la fonction 1 sur x ans pour qu'on ait le graphe de la dérive et et le graph de la courbe de la même sur le même dessein fonctionne assuré que ça pour graff une hyperbole qui a pour asymptote relaxe des abscisses et l'axé des ordonnées voici pour x positif est bon la fonction à sur xla dérivés la fonction du logarithme né paie rien à dire que si je prend la tangente ici en haut point au point de coordonner 1 0 est là pour ela pour coefficient directeur 1 et le logarithme et la fonction 1 sur xl arrive alors donné un et si je prends le logarithme une valeur très proche de zéro on voit que le coefficient de la directeur de la tangente est très très fort positif et on voit que la fonction assure x également très très haut dans les positif et donc tout ceci est cohérent maintenant intéressons nous à la partie gauche de la courbe que se passe-t-il lorsque x est négatif et alors se hisser négatif on peut peut-être dessinée là on voit que la fonction est décroissante la dérive et va donc être négative 1 tout comme la fonction assure xl est négatif on voit que la pente la pente va augmenter dans les négatifs au fur et à mesure que nous approchons de lax désordonnée et on va essayer donc de compléter le graphe en dessinant la fonction 1 sur x pour les négatifs et ça a l'air de bien marcher 1 voyez lorsque la pente est relativement faible et bien la valeur de main sur x est relativement faible chez les négatifs donc ça a l'air d'être cohérent que ce soit un sur isla dérivés ce qui n'est pas c'est pas une preuve rigoureuse mais bon on voit que le graff de 1 sur x a l'air de respecter le fait que la dérive et c'est bien le coefficient directeur de la tangente au point que je considère en fait on peut se rendre compte que c'est le cas en raisonnant par symétrie nous savons que la dérivée du logarithme de valeur absolue de x et un sur x pour les x positif et bien par symétrie et bien le coefficient directeur de la tangente pour les négatifs sera l'opposé de celui pour les positif parce que je sais que les deux que les deux parties de la courbe de logarithmes de valeur absolue de x sont exactement symétrique l'une avec l'autre donc les coefficients directeur des tangentes seront exactement les opposer de l'un avec l'autre ou l'un de l'autre donc je peut en déduire que la dérivée du logarithme de valeur absolue x et bien sûr x pour tous les x différentes 0 et que donc les primitives de 1 sur x inversement sont toutes de la forme logarithme de valeur absolue 2x plus une constante c'est