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Le sens de variation d'une fonction

Sens de variation d'une fonction et signe de sa dérivée.

Comment déterminer le sens de variation d'une fonction ?

La fonction f est croissante sur l'intervalle [a ;b] équivaut à f est positive sur l'intervalle [a ;b]. La fonction f est décroissante sur l'intervalle [a ;b] équivaut à f est négative sur l'intervalle [a ;b].
Donc, pour déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante, on calcule la dérivée de la fonction et on étudie son signe.
.

Exemple 1

Soit à étudier le sens de variation de la fonction polynôme définie par f(x)=x3+3x29x+7. On calcule sa dérivée :
f(x)=3x2+6x9
Il faut étudier le signe de f.
f(x)=3(x+3)(x1)
f s'annule en 3 et en 1. Elle est de signe constant sur chacun des intervalles ] ;3[, ]3 ;1[ et ]1 ;+[.
Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de f(x) pour connaître le signe de f sur l'intervalle.
IntervalleValeur de xf(x)Conclusion
] ;3[x=4f(4)=15>0f est croissante.
]3 ;1[x=0f(0)=9<0f est décroissante.
]1 ;+[x=2f(2)=15>0f est croissante.
f est croissante sur ] ;3[ et sur ]1 ;+[ et elle est décroissante sur ]3 ;1[

Exemple 2

Soit à étudier le sens de variation de la fonction polynôme définie par f(x)=x63x5. On commence par calculer f(x).
f(x)=6x515x4
Il faut étudier le signe de f.
f(x)=3x4(2x5)
f s'annule en 0 et en 52. Elle est de signe constant sur chacun des intervalles ] ;0[, ]0 ;5/2[ et ]5/2 ;+[.
Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de f(x) pour connaître le signe de f sur l'intervalle.
IntervalleValeur de xf(x)Conclusion
] ;0[x=1f(1)=21<0f est décroissante.
]0 ;52[x=1f(1)=9<0f est décroissante.
]52 ;+[x=3f(3)=243>0f est croissante.
f est décroissante si x<0 et si x>0, donc f est aussi décroissante en 0.
Donc f est décroissante sur l'intervalle ] ;52[ et elle est croissante sur l'intervalle ]52 ;+[

À vous !

Exercice 1
h est la fonction définie par h(x)=x3+3x2+9
Sur quel(s) intervalle(s) la fonction h est-elle décroissante ?
Choisissez une seule réponse :

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