Le sens de variation d'une fonction

La fonction $f$‍ est croissante sur l'intervalle $[a;b]$‍ équivaut à $f^{\prime }$‍ est positive sur l'intervalle $[a;b]$‍. La fonction $f$‍ est décroissante sur l'intervalle $[a;b]$‍ équivaut à $f^{\prime }$‍ est négative sur l'intervalle $[a;b]$‍.

Donc, pour déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante, on calcule la dérivée de la fonction et on étudie son signe.

Soit à étudier le sens de variation de la fonction polynôme définie par $f(x)=x^3+3x^2-9x+7$‍. On calcule sa dérivée :

$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9$‍

Il faut étudier le signe de $f^{\prime }$‍.

$f^{\prime }$‍ s'annule en $-3$‍ et en $1$‍. Elle est de signe constant sur chacun des intervalles $]-\infty ;-3[$‍, $]-3;1[$‍ et $]1;+\infty [$‍.

Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de $f^{\prime }(x)$‍ pour connaître le signe de $f^{\prime }$‍ sur l'intervalle.

$f$‍ est croissante sur $]-\infty ;-3[$‍ et sur $]1;+\infty [$‍ et elle est décroissante sur $]-3;1[$‍

Soit à étudier le sens de variation de la fonction polynôme définie par $f(x)=x^6-3x^5$‍. On commence par calculer $f^{\prime }(x)$‍.

$f^{\prime }(x)=6x^5-15x^4$‍

Il faut étudier le signe de $f^{\prime }$‍.

$f^{\prime }$‍ s'annule en $0$‍ et en ${\displaystyle \frac{5}{2}}$‍. Elle est de signe constant sur chacun des intervalles $]-\infty ;0[$‍, $]0;5/2[$‍ et $]5/2;+\infty [$‍.

Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de $f^{\prime }(x)$‍ pour connaître le signe de $f^{\prime }$‍ sur l'intervalle.

$f$‍ est décroissante si $x<0$‍ et si $x>0$‍, donc $f$‍ est aussi décroissante en $0$‍.

Donc $f$‍ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty ;{\displaystyle \frac{5}{2}}[$‍ et elle est croissante sur l'intervalle $]{\displaystyle \frac{5}{2}};+\infty [$‍