Déterminer l'intervalle sur lequel une fonction est décroissante.

déterminez l'intervalle sur lequel la fonction fdx égale x puissance 6 - 3 x puissance 5 est strictement décroissante alors on va résoudre ce problème là sans même tracé la courbe représentatives de la fonction f puisque ce qu'on sait c'est que la fonction f sera strictement décroissante sur les intervalles ou ses dérivés est strictement négative donc ce qu'on va faire ses calculs et la dérive et 2f et déterminé sur quel intervalle cette dérivé est strictement négative alors je verrai écrire f ici f 2 x c'est donc x puissance 6 - 3 x puis 105 et maintenant je vais calculer la dérive et 2f par rapport à x donc f primes de x alors pour ça je vais d'abord dérivés x puis 106,7 une fonction puissance donc je vais appliquer la règle de dérivation des fonctions puissance j'ai l'exposant 6 qui descend ici qui devient un coefficient et l'exposant ensuite sera diminuée de une unité donc la dérive et 2x puissance 6 et 6 x puissance 5 ensuite j'ai moins la dérive et de ce terme là 3x puissante 5 alors là je vais appliquer aussi la règle de dérivation des fonctions puissance donc j'ai sept exposants 5 qui va descendre ici alors je vais donc avoir moins trois fois 5 ça fait moins 15 et puis x puissance 4 x puissance 4 voilà ça c'est la dérive et 2f et maintenant il faut que je détermine l'intervalle sur lequel cette fonction f prime cette dérive et 2f et négatives autrement dit il faut que je résolve l'inéquation f primes de x inférieur à 0 strictement inférieure à 0 puisqu'on nous demande les intervalles sur lequel elle est strictement décroissante il ya ce terme là qui est important strictement décroissante c'est pour ça que j'ai une inégalité stricte ici et donc c'est une équation là en fait c'est 6 x puissance 5 - 15 x puissance 4 inférieure à 0 alors qu'est-ce que je peux faire si je peux factoriser je peux mettre en facteur 3 x puissance 4 donc c'est 3 x puissance quatre facteurs de 2x moins 5 là j'ai uniquement factoriser cette expression là est-ce que je les bienfaits 3x puissance 4 x 2 x adonne bien saisi que puissance 5 et puis 3 x puissance quatre fois moins 5 ça donne bien moins 15 6 puissance 4 donc c'est bon et donc lénine équation que je dois résoudre c'est celle là alors j'ai un produit de deux termes et pour que ce produit soit négatif il faut que les deux facteurs de ce produit soit de signes contraires donc finalement j'ai deux cas possibles un premier cas c'est le cas où ce facteur là 3x puissance 4 est inférieure à 0 et l'autre facteur 2x moins 5 et supérieur à zéro dans ce cas là le produit va être négatif donc ça va être bien et puis le deuxième cas c'est le cas ou 3 x puissance 4 est supérieur à 0 et 2x moins 5 inférieures à zéro alors on va examiner le premier cas 3x puissance 4 inférieure à zéro c'est la même chose que x puissance 4 inférieure à zéro puisque je peux / 3 des deux côtés les deux membres de cette inégalité et x puissance 4 inférieur à 0 est ce que c'est possible alors est ce qu'il existe un nombre qui est négatif quand on l'élève à la puissance qu'a très bien non puisque on sait déjà que x au carré pour tous les nombres réels et bien c'est un nombre positif donc x puissance 4 qui est le carré de xo carré c'est un nombre positif donc finalement ça c'est impossible ce qui veut dire que on peut ignorer ce cas là qui ne peut pas se produire et donc le seul cas qui nous reste c'est celui ci 3x puissance 4 supérieur à 0 et 2 x 25 inférieur à 0 strictement inférieure à 0 alors je vais examiner ces deux conditions la première 3x puissance 4 supérieur à 0 la seule chose qui est important c'est qu'ici on a une inégalité strictes donc il faut que x soit différent 2 0 1x doit être différente zéro puisque 6 x est égal à zéro et bien on a 3 x x puissance 4 égal zéro donc ça va pas nous convenir et puis la deuxième condition c'est 2x moins 5 inférieur à 0 alors ça c'est 2x inférieur à 5 et donc x inférieure à 5,2 me voilà alors là on a répondu à la question en fait on a trouvé toutes les valeurs de x pour lesquels f primes de x est négative il faut que x soit différente 0 et x inférieure à 5,2 me pour ces valeurs là la fonction f sera strictement décroissante mais ce qui serait pas mal pour vraiment répondre à la question c'est d'arriver à écrire ces conditions là sous la forme d'un intervalle alors si tu veux on peut faire une petite droite numérique pour se représenter les choses donc là j'ai la valeur zéro ici j'ai la valeur 5 2 me et donc cette condition là x différentes 0 signifie qu'on doit supprimer cette valeur là et la condition x inférieure à 5,2 me nous donne toute cette zone là avec le 5/2 exclus et en fait ici comme on peut pas prendre la valeur x égal à zéro ce qu'il faudrait faire ses crochets de ce genre là et là j'espère que tu vois comment on peut exprimer ce que je viens de faire ici graphiquement sous la forme d'un intervalle en gros c'est l'intervalle moins l'infini 5,2 me auxquels on enlève la valeur zéro donc je vais pouvoir l'écrire comme ça - l'infini je pars de mon infinie je vais jusqu'à 0 exclu union 05 demi exclut aussi voilà là j'ai vraiment représenter ce dessin là sous forme d'un intervalle j'ai toutes les valeurs strictement inférieure à 5 2 me et j'enlève la valeur zéro de cet intervalle