Généralisation de la méthode des couronnes : Rotation autour de l'axe des abscisses

bien généralisons ce que nous avons vu dans la dernière vidéo je vais tracer un repère jeux tracés les axes j'essaie de tracer les axes bien droit et voilà et je voudrais faire tourner autour de l'axé des abscisses l'air entre deux fonctions donc disons que j'ai un graphe de fonctions ici un grave de fonction donc je généralise donc je l'appelle fdx je donne pas d'expressions spécifiques et disons que j'ai un autre grave de fonction que je vais faire d'une autre couleur là comme ça et celui-là est à qu'à écrire que c'est y égale g2x et comme on l'a fait dans la dernière vidéo j'aimerais calculer le volume du solide de révolution que l'on obtient lorsque l'on fait tourner l'air comprise ici là en cash hurla entre les deux courbes autour de l'axé des abscisses donc de manière le plus général possible là je donne pas de d'expression de fonction je leur ai juste avec g2x fgx est donc comme ça ressemble la comme les fonctions que je traçais là par hasard ressemble à celle qu'on a est tracé avant on obtient à peu près la même la même curieuse forme que j'ai essayé à maintenant la décide de dessiner avec une impression de relief de ballon de rugby dans lequel on aurait creusé un cône de 2000 ballon de rugby dans lequel on aurait creusé un cône est donc comment on calcule ce volume est bien on pourrait comme à la dernière vidéo penser à des disques un vol un volume calculé avec des disques auquel on retire un autre volume calculé avec des disques mais là on va plutôt penser en termes de couronnes parce qu'on va faire tourner autour de l'axé des abscisses des petits rectangles ce élémentaires comme celui que je dessine là et qu'est ce qui se passe lorsque ce petit rectangle enfin tout petit rectangle et mentaires déjà va avoir une largeur de dx est quand qu est ce qui se passe quand on fait tourner ce petit rectangle élémentaire là autour de l'axé des abscisses et bien ça nous donne pas un si un petit cylindre ça nous donne une petite couronne cylindres avec un trou cylindrique au milieu ça ressemble à une couronne on va appeler ça une couronne voilà l'intérieur l'extérieur de la couronne un jeu des signes du mieux que je peux j'espère que ça te donne une bonne impression et donc le sud la surface la surface extérieure de cette couronne cette petite rondelle la c5 et et cette couronne à une petite épaisseur une toute petite épaisseur de dx une épaisseur évidemment l'épaisseur qu'on va faire tendre vers zéro lorsqu'on va écrire le la sommation de ses volumes en termes d' intégral donc bon cette petite couronne c'est comme une pièce de monnaie avec un trou au milieu donc comment est ce qu'on trouve le volume de cette couronne à une couronne c'est un prisme et tous les prix selon la même formule de volume c'est-à-dire air de la base x la hauteur donc je vais calculé l'ère de la base de la couronne et je vais multiplier par la hauteur les stayers l'épaisseur de la couronne par dx malheur de la base alors comment on fait et bien c'est l'ère de clr du grand cercle du cert extérieur de la base - l'ère du trou et le grand cercle service terreur de la base là que je représentais à ce rayon ici le rayon c'est la valeur de la plus grande fonction knicks c'est à dire ici là pour notre dessein ce sera fdx donc pie x f 2 x au carré l'air d'un l'air d'un disque que seppi fois rayons au carré donc ici pif wave 2 x au carré c'est l'ère de clr de tous c'est l'ère de tous le disent qu'un cent sans avoir enlevé le 100 avoir fait le trou au milieu maintenant si je veux l'air juste de la couronne il faut que tir lors du trou qui est aussi circulaire donc serré pie x le rayon de ce trou au carré et le rayon de ce trouble c'est tout simplement l'évaluation en x delà de la fonction qui a la plus petite valeur est ici c'est g2x donc ça va être pire fois rayons au carré et pie x g2x au carré voilà donc voila voila ça c'est l'ère de la base de ma petite couronne dont j'essaie de calculer le volume est bon je peux factoriser le pi ca fé péi facteurs doivent on n'écrit plus simplement pour économiser des parenthèses cpie facteur de f carré de x - j'ai carré de x ça c'est une notation c'est la notation du carré de la fonction abréger son parenthèse pour faire un petit peu plus simple et donc voilà j'ai l'air de la base de ma petite couronne et si je veux le volume il faut que je multiplie l'ère de la base de la couronne par la hauteur de la couronne et la hauteur dans le temps dans ce cas d'espèce c'est l'épaisseur de la couronne donc je multiplie tout ça par des x donc c'est pie x f2 xpf carré 2x monger carré de x x dx donc x dx et voilà ce que j'ai écrit là sur cette dernière ligne c'est le volume d'une petite couronne élémentaire et le volume du solide de révolution qu'on cherche à calculer c'est la somme de volume de petit couronne élémentaires qui se calcule avec cette formule là qui se disent on de ce genre là un et dont il faut et il va falloir donc se faire la somme du plus possible de d'énormément de petite couronne comme ceci quand leur épaisseur tend vers zéro donc faire calculer l'intégrale l'intégrale entre les bornes ici la dent dans ce donjon dessin les bornes c'est là où les deux fonctions se rend compte mais les bonnes sont pas forcément obligé d'être là où les deux fonctions se rencontrent les énoncés peuvent peuvent te dire que les bornes sont autre part bon ici bon donc ce qu'on veut une formule générale on va appeler les bornes a et b et donc là on à l'intégrale entre a et b de pie x f carré de x - gilles carrez 2x dx est donc la formule générale du calcul du solide de révolution que l'on obtient en faisant tourner l'air comprise entre deux fonctions autour de l'axé des abscisses salaires en faisant une sommation de couronnes donc on va essayer de réappliquer ça a au fond ctions on avait la dernière fois juste pour voir si on trouve le même résultat donc la dernière fois notre g2x ctx et notre rêve de x et hey racines de x donc notre volume bon on va l'écrire par ici notre volume bas c'était quoi nous deux points d'intersection non on avait calculé le volume entre les deux points d'intersection n'aurait plus le calcul et on aurait pu se fixer d'autres limites des limites un petit peu plus intérieure mais on a calculé dans notre eau deux points d'intersection et on avait vu dans déjà dans la vidéo on avait de calculer ces deux points d'intersection ctx égal 0 1x égal à 1 donc ça est l'intégrale entre 0 et 1 no a et b de la formule cette fois c'est zéro et un de pisse froid donc f carré de xrf carré de x ses racines 2x au carré racines de xo caresser juste x - j'ai carré 2x g2x cx donc j'ai carré de ixe et xe au carré voilà je ferme la parenthèse je multiplie par des x et donc on obtient une intégrale de fonctions polynôme qu'on sait parfaitement calculé je sors le pit l'intégrale s'adonne l'intégrale de pie x l'intégrale de 0,1 de 6.6 carré dx autrement dit pie x on prend une primitif 2 x caresser 2x cx carrés sur deux on prend une primitive de x caresser x occupe sur trois tout ceci a évalué entre 0 et 1 donc on est presque au bout de nos peines on va faire la différence entre l'évaluation de cette expression n 1 et l'évaluation de cette expression en zéro comme on fait d'habitude donc lorsque x égal 1 ça nous fait pie x 1 au carré sur deux c'est à dire en me -1 au carré sur trois c'est-à-dire un tiers est là faudrait soustraire l'expression entre crochets à évaluer pour x égal 0 mais leur pourrit que segal 0 tu vois bien que tout est égal à zéro 1 0 au quart et sur 2,0 pub sur trois tout ça ça fait zéro donc en fait y'a rien à soustraire et donc voilà pour simplifier 1/2 moins un tiers 1/2 moins un tiers ça se calcule facilement c'est un sixième donc c'est pie x un sixième autrement dit notre volume seppi sur six est exactement la même réponse qu'on avait trouvé dans la vidéo précédente tout simplement parce qu on a fait exactement la même chose on sait on ajuste conceptualiser ça dans sa plus grande généralité pour obtenir une formule la formule de l'intégrale entre deux bornes d'une volume de volume de couronnes donc ça c'est le volume d'une couronne élémentaire et on a appliqué cette formule pour obtenir le volume du solide de révolution