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Intégrale définie d'une fonction racine cubique

On calcule l’intégrale de -1 à 8 de la fonction 12∛x, à l'aide de la règle de dérivation des fonctions puissances lue "à l'envers".

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Transcription de la vidéo

alors on va essayer de calculer cette intégrale l'intégrale de -1 à 8 de 12 x racine cubique de xd x pour la première chose à faire c'est se rendent compte que ici on a une racine cubique de x mais en fait une racine cubique de x c'est une fonction puissance cx élevé à la puissance un tiers donc là je vais pouvoir écrire ça comme ça c'est l'intégrale entre -1 et 8 de 12 x x élevé à la puissance un tiers des x bon évidemment il faut qu'on arrive à déterminer primitive de 12 x x élevé à la puissance un tiers et c'est pour ça que j'ai réécrit les choses comme ça puisque maintenant j'ai une fonction puissance est calculé la primitive d'une fonction puissance ça c'est facile en fait essentiellement ce qu'on fait c'est lire la règle de dérivation des fonctions puissance à l'envers donc ici ce qu'on va faire c'est augmenter l'exposant de une unité est divisé par sept exposants augmenté donc je vais le faire ici à côté je vais donc avoir x puissance un tiers plus un un tiers plus un donc un tiers plus un ça fait quatre tiers donc gx puissance qu'a tiers et je dois diviser sa part 4/3 donc multiplié par trois quarts voilà ça c'est une primitif de la fonction x puissance un tiers et pour avoir une primitive de cette fonction là il faut que je multiplie tout par 12 alors je vais simplifier cette expression la 12e' visé par quatre ça fait 3 donc ce que j'essaie 3 x 3 x x puissance 4/3 c'est à dire 9 x x puissance 4/3 voilà donc ça c'est une primitive de 12 x x puissance un tiers de 12 racine cubique 2x juste engage à le vérifier si tu veux en mettant la vidéo sur pause il suffit que tu dérive cette fonction là pour voir si tu obtiens bien celle ci en tout cas maintenant ce qu'on est à ramener à faire c'est à calculer ceci je l'écris comme ça c'est 9 x puissance 4/3 pris entre -1 et 8 q les la valeur de cette fonction-là en x égale 8 - la valeur de cette fonction-là en x égales - 1 alors je vais le faire ici et je vais prendre des couleurs pour ne pas me tromper d'abord pour x égale 8 et bien j'ai 9 x 8 puissance 4/3 voilà et puis ensuite pour x égales - 1 donc je vais soustraire la valeur de cette fonction là pour x égales - 1 c'est à dire je vais soustraire neuf fois moins 1 élevé à la puissance 4/3 alors on va faire quelques calculs quand même on va pas laisser ça comme ça huit puissances 4/3 déjà je vais m'occuper de ce terme là ici huit puissances 4/3 et bien c'est 8 élevé à la puissance un tiers élevé à la puissance 4 et ici huit élevé à la puissance un tiers on a dit tout à l'heure ses racines public de 8 et donc je dois élever tout ça à la puissance 4 alors racine cubique de 8 en fait ça ces deux c'est une valeur que quand même il faut connaître effectivement deux élevés occupe ça fait bien 8 donc j'ai deux élevé à la puissance 4 qui est égale à 16 donc ce terme là il est égal à 9 x 16 9 x 16 alors ça fait 9 x 10 90 + 9 x 6 54 donc 90 + 54 ça fait 144 ce terme-là ses 144 et puis ensuite je vais soustraire ce terme là neuf fois moins élevé la puissance 4/3 alors là je vais faire pareil que tout à l'heure je vais calcul est déjà moins un élevé la puissance 4/3 et ça c'est donc moins 1 élevé à la puissance un tiers le taux élevé à la puissance 4 exactement comme ce que j'ai fait tout à l'heure pour 8 et puis -1 élevé la puissance un tiers ses racines cubique 2 - 1 donc je dois élever à la puissance 4 alors ça ça peut te perturber un petit peu racine cubique de -20 en fait il faut tout simplement se rappeler de ce que ça veut dire en fait ça c'est le nombre qui donne moins quand on l'élève au cube est ce qu'on sait c'est que -1 ça tu le sais bien sûr - au cube et bien c'est moins 1 fois moins 1 fois moins 1 donc c'est moins un et ça ça veut dire que racine cubique de -1 et bien c'est moins 1 donc finalement ce que j'ai ici c'est moins un élevé à la puissance 4 hélas comme l'exposant et père et bien c'est égal à donc ce nombre-là eh bien c'est un ace que j'ai c'est neuf fois un donc 9 et du coup là on a terminé en fait notre intégral ici eh bien elle est égale à 144 - 9 ce qui fait 135