Appliquer les propriétés des intégrales

D'après les données, on peut imaginer ce graphique :

${\displaystyle {\int }_{-5}^{5}f(x)dx=10}$‍, donc la somme des aires des deux domaines coloriés en bleu et de l'opposé de l'aire du domaine colorié en rose est égale à $10$‍.

Quel est l'opposé de l'aire du domaine colorié en rose ?

L'aire du domaine situé entre la courbe de $f$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$‍ et $x=5$‍ est la somme de l'opposé de l'aire du domaine situé entre la courbe de $f$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$‍ et $x=3$‍ et de l'aire du domaine situé entre la courbe de $f$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=3$‍ et $x=5$‍.

Si on multiplie $f(x)$‍ par $7$‍, l'aire du domaine situé entre la courbe de $f$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-5$‍ et $x=-1$‍ est multipliée par $7$‍.

Donc l'intégrale de $-5$‍ à $-1$‍ de $7f(x)dx$‍ est le produit par $7$‍ de l'intégrale de $-5$‍ à $-1$‍ de $f(x)dx$‍.

On peut permuter les bornes d'intégration.

D'après la linéarité de l'intégrale,

La valeur de ${\displaystyle {\int }_3^{5}f(x)dx:}$‍
C'est une donnée :${\displaystyle {\int }_3^{5}f(x)dx}=9$‍

La valeur de ${\displaystyle {\int }_3^{5}4dx}$‍
On calcule l'aire du domaine situé entre la droite d'équation $y=4$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=3$‍ et $x=5.$‍

Ce domaine est un rectangle.

On additionne les deux aires :

D'après les données, on peut imaginer ce graphique :

${\displaystyle {\int }_{-8}^{0}g(x)dx=5}$‍, donc la somme de l'aire du domaine colorié en bleu et de l'opposé de l'aire du domaine colorié en rose est égale à $5$‍.

Quelle doit être la valeur de l'opposé de l'aire du domaine colorié en rose ?

On peut imaginer ce graphique :

${\displaystyle {\int }_{-2}^{8}g(x)dx=-5}$‍, donc

On a déjà trouvé que l'intégrale de $-2$‍ à $0$‍ de $g(x)dx$‍ est égale à $-6$‍.

D'après les propriétés de l'intégrale,

D'après la linéarité de l'intégrale,

La valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{8}g(x)dx}$‍
On a déjà établi que ${\displaystyle {\int }_0^{8}g(x)dx}=1$‍

La valeur de${\displaystyle {\int }_0^{8}xdx}$‍
On calcule l'aire du domaine situé entre la droite d'équation $y=x$‍, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$‍ et $x=8.$‍

Ce domaine est un triangle.

On additionne les deux aires :