Intégrale d'une somme de fonctions

alors ici j'ai tracé les courbes représentatif de deux fonctions là c'est la courbe représentatif d'une fonction f et ici c'est celle d'une fonction j'ai alors ce qu'on sait déjà c'est que si je veux calculé l'air d'une portion de plans qui est celle ci voilà qui est délimité par ces deux droites bleus ici et d'une part l'axé des abscisses et la courbe d'équations y égale f 2 x donc si tu veux je peux la colorier c'est toute cette cette portion du plan ici cette portion de plan ici et bien son maire c'est l'intégrale entre a et b de f 2 x dx faire exactement la même chose à côté pour cette courbe verte ici si on veut calculer l'ère de la portion de plans qui est ici je la colorier aussi en jaune donc toute cette portion de plan ici même manière cet air là et je peux la calculer en calculant l'intégrale entre a et b de g2x dx voilà alors la question qu'on va se poser dans cette vidéo c'est qu'est ce qui se passe si on veut calculer l'air qui est sous la courbe d'équations y égale f 2x plus g2x donc qu'est ce qui se passe quand on considère la somme de ces deux fonctions là et pour faire ça ce qu'on va faire c'est un petit peu de manipulation alors pour ça voilà j'ai préparé ça c'est exactement la même chose que ce qu'on a ici donc c'est la courbe représentatives de la fonction y égale f 2 x est ce qu'on voudrait faire maintenant c'est considérer la fonction qui est la somme de f et de g en fait on va considérer la courbe d'équations y égal alors f 2 x f 2x plus g2x alors la première chose évidemment ça essayer de se représenter la courbe représentatif de cette fonction est pour ça que c'est assez facile en fait puisque ici j'ai déjà f ii x6 je veux mais par exemple en n'importe quel point de l'axé des abscisses ici gx est donc là en fait cette hauteur là ça cf 2 x ici cf 2x est donc ce que je dois faire à partir de ce x c'est tout simplement ajouté g2x est ce que je vais obtenir ici par exemple ça sera le point f 2x plus g2x donc un point de cette courbe là alors je vais effacer ça parce que on va le faire un peu plus proprement à partir de certains points donc je vais regarder ce qui se passe pour x égal 0 donc ça c'est f20 qui est ici est ce que je dois faire c'est ajouter g20 g20 et bien je vais le lire ici g20 c'est cette valeur là donc ce qu'il faut que je fasse c'est que à partir de ce point là j'ajoute cette distance-là donc que la reproduire ici à peu près voilà je fais quelque chose d'approximatif évidemment j'ai pas de graduation pour m'aider mais intuitivement voilà ce qui se passe pour x égal zéro ce que j'ai ici cf 2 0 + g20 et j'arrive donc à ce point là qui appartient à cette courbe l'a ensuite bon je peux le faire par exemple pour x égales a donc ici je suis déjà à f2 à une hauteur de f2 à et je dois ajouter la distance g2a qui est celle ci donc voilà je vais le faire c'est à peu près la même chose la courbe va passer à peu près par ce point là ensuite je vais prendre quelques autres points alors pour que ce soit assez faciles à repérer dans les deux cas ici je vais prendre le milieu le milieu du segment ab est donc ici c'est l'image du milieu du segment ab par la fonction f et maintenant je dois ajouter cette distance là cette distance là je vais la reproduire à peu près ici donc c'est à peu près ça voilà à peu près cette distance-là donc cette courbe la passe par ce point si ensuite je vais considérer x et galbées donc ça c'est f2b cette distance là et je dois ajouter j'ai deux béquilles et cette distance là ici toute cette distance là donc je vais reproduire à peu près ici voilà cette courbe cela va passer par ce point là ensuite bon je peux prendre juste pour visualiser un peu plus ce point là voilà ça c'est son image par la fonction f et du coup je vais devoir ajouter toute cette distance là ici donc ça va m'amener à peu près là voilà évidemment je répète c'est très approximatif mais quand même ça me permet de voir un peu l'alluré générale de cette courbe là et de comprendre surtout comment est-ce qu'on peut la construire donc je vais la trace est maintenant c'est une courbe qui va faire quelque chose comme ça voilà et ensuite elle continue à priori vers le haut alors maintenant ce qu'on sait c'est évidemment l'ère de la partie du plan qui est sous cette courbe la orange qui est compris entre la courbe orange l'axé des abscisses et ses deux droites là et de droite bleus donc je vais là colorier aussi toute cette partie là eh bien on sait comme tout à l'heure que finalement c'est air lines et bien c'est l'intégrale entre a et b de notre fonction qui est donc cette fois-ci f 2 x plus g2x alors je vais mettre des parenthèses dx voilà ça c'est exactement la même chose mais la question qu'on peut se poser c'est quand même comment est-ce qu'on peut relier cette intégrale là à ces deux là c'est à dire finalement comment est-ce qu'on peut relier l'air de cette portion du plan a l'air de celle ci ait l'air de celles là alors il ya une chose qui est assez évidente c'est que ici tout ça ça c'est cette portion de plans donc on sait que c'est l'intégrale entre a et b de fgx dx mais ce qui est moins évident c'est de voir le lien qui existe entre cet air là est celle qui est ici alors je vais la repasser rapidement qu'on y voit un peu plus clair donc cette terre-là et ces terres là et on va essayer de voir quel est le lien entre ces deux aires alors en fait si tu te rappelles comment est-ce qu'on a défini une intégrale en fait en prenez des petits rectangles comme ça d'une certaine largeur infinitésimale dx et la hauteur en fait ici et bien c'est g2x c'est la valeur de la fonction j'ai en ce point là mais ce qui est intéressant ici c'est qu'en fait disons que ça c'est je prends ce même x ici alors je sais que ça cf 2 x mais je peux construire un rectangle ici de largeur dx comme çà et là en fait cette hauteur là et bien c'est aussi g2x puisqu'en fait toute cette distance la cfd x + g2x et celle là et f2 x donc la distance qui nous restent ici la hauteur de mon rectangle et bien c'est g2x donc finalement ce petit rectangle là c'est exactement le même que celui là est en fait tu peux imaginer ce qu on a fait quand on a calculé l'intégrale on a donc la limite d'une somme d'une infinité de rectangles de largeur infinitésimale comme ça et chacun de ces rectangles et bien tu le retrouves ici c'est peut-être pas si évident à voir mais finalement les rectangles qu'on retrouve ici on les retrouve exactement ici aussi simplement plus ou moins décalée vers le haut et en fait ils sont décalées d'une valeur de fgx à chaque fois voilà donc tous ces rectangles que je dessine ici je les retrouve en fait là ils sont juste décalé d'une certaine distance qui est la valeur de la fonction f en ces points là et donc quand on calcule la limite des sommes de riemann donc ce qu'on obtient finalement c'est que toutes ces terres là on la retrouve exactement ici alors c'est pas du tout une preuve rigoureuse certainement pas mais c'est vraiment une manière de voir intuitivement de comprendre intuitivement ce qui se passe donc finalement ce qu'on voit c'est que l'air de toute cette portion de plan est bien celle ses terres la plus ces terres là ou alors cette heure-là plus ces terres là est donc finalement ce qu'on obtient c'est que l'intégrale entre a et b de f2 x + g2x dx et bien elle est égale à l'intégrale entre a et b de f2 xtx plus l'intégrale entre a et b de g2x dx alors ça peut paraître très évident ou beaucoup moins mais en tout cas ce qui est intéressant c'est de comprendre quand est ce qu'on va pouvoir utiliser en fait cette cette formule là qu'on vient de voir cette manière de deux cas c'est l'intégrale d'une somme de deux fonctions et bien c'est un outil vraiment vraiment très important un des plus puissants pour calculer des intégrales ce que tu sera forcément amené à faire donc par exemple si tu veut calculer l'intégrale entre 0 et 1 de la fonction x au carré plus sinus xtx et bien mais bon pour l'instant tu sais peut-être pas encore faire ça mais ce que tu peux déjà dire grâce à ce qu'on vient de voir ici c'est que cette intégrale là en fait c'est l'intégrale entre 0 et 1 de la fonction x au carré dx plus l'intégrale entre 0 et 1 de la fonction cygnus x dx et tu vois que ça permet en fait de ramener le calcul d'une intégrale d'une fonction assez compliqué au calcul d'intégrale de fonction un petit peu plus simple