Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons des problèmes de chargement de données externes.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenu principal

Intégrale définie d'une fonction valeur absolue

On calcule l'intégrale définie de la fonction f(x)=|x-1| de 0 à 3.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Pas encore de posts.
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Transcription de la vidéo

on nous donne ici une fonction définie sur erquy et la fonction fdx égale valeur absolue de x - 1 et on nous demande de calculer cette intégrale l'intégrale de 0 à 3 de f2 xtx alors comme c'est une fonction avec une valeur absolue ça peut être un petit peu perturbant mais en fait une des manières de raisonner sait décrire cette fonction là comme une fonction définie par morceau en fait la valeur absolue de x muanza ça sera x - quand l'expression x - est supérieur à zéro et ce sera l'opposée de cette valeur-là quantix moyen est inférieur ou égal à zéro donc ça ça définit en fait les deux morceaux de cette fonction est ce qu'il faut qu'on fasse et identifier la frontière celle qui fait changer de signes cette expression là en fait x - est égal à zéro quand hicks est égal à 1 donc finalement nos deux morceaux ça va être cela alors je vais l'écrire comme ça je vais avoir un premier morceau pour x inférieure à 1 et puis un deuxième morceau pour x supérieur ou égal à 1 voilà alors tu peux choisir indifféremment ici tu pourrais m dans ce cas là inférieur ou égal à 1 ici est strictement supérieur à 1 ça changerait rien du tout je te laisse vérifier ça en tout cas maintenant pour x inférieure à 1 cette quantité la x pour 20 est bien et va être négative donc la valeur absolue de x - en fait ça sera moins x - 1 donc sur cette portion là la fonction af 2 x est défini de cette manière là c'est moins x - et ça en fait je vais l'écrire plus simplement comme ça c'est moins x + 1 voilà donc ça c'est pour x inférieure à 1 et quand hicks est supérieur ou égal à 1 et bien x - 1 est positif donc valeur absolue de x - est égal à x - c'est donc dans ce cas là sur cette branche là la fonction est fait les définit de cette manière la cx moisins quand x est plus grand que 1 voilà cette définition la valeur absolue de x - et celle ci par morceaux sont exactement équivalente alors si tu veux on peut quand même pour clarifier un petit peu les choses je vais faire un petit dessin rapidement je vais tracé la représentation graphique de la fonction donc je vais faire plutôt lax ici comme ça donc ici lax dx l'origine lax des y et puis donc j'ai la valeur 1 que je vais mettre ici voilà alors quand ix est inférieur à 1 donc sur toute cette partie là ma fonction c'est moins x + 1 donc c'est une droite de pente égal à -1 et de redonner à l'origine un donc un c'est ici donc en fait elle va passer par ce point là donc je peux la trace et c'est une demi droite qui va faire comme ça voilà donc ici en fait j'ai tracé la droite d'équations y égales - x + 1 qui correspond à cette partie là ici donc pour x inférieure à 1 et puis la deuxième branche celle ci pour x supérieur ou égal à 1 donc cette partie là et bien ma fonction c'est une droite qui a pour équation y égale x - 1 donc une droite de pantin et d'ordonner à l'origine - 1 alors moins 1 c'est ici voilà et donc je doit tracer la droite qui passe par ce point là et ce point là je vais la faire comme ça mais évidemment ici on considère que les valeurs de x supérieur ou égal à 1 donc il faut que je gomme cette partie là donc la partie que j'ai tracée en bleu ici c'est une droite d'équations y égale x - 1 est ce qu'on peut voir ici c'est que il y a un axe de symétrie voilà qui est cette droite là la droite d'équations x égal alors maintenant il faut qu'on rentre dans le vif du sujet on doit calculer cette intégrale là et pour ça ce que je vais faire c'est découpé mon intégral en respectant la frontière de mon domaine c'est à dire la valeur pour laquelle on change de morceaux donc ici je dois calculé l'intégrale de 0 à 1 de f2 xtx plus l'intégrale 2 1 à 0 de f 2 x dx et maintenant en fait je peut même faire un petit peu mieux puisque je sais que entre 0 et 1 ici fdx c'est moins x + 1 donc je vais l'écrire ici je dois calculé l'intégrale de moins x + 1d x et puis cette intégrale à 2 1 à 0 alors ici c'est pas 01 gmi 0 tout à l'heure mais c'est pas du tout l'intégrale de 1 à 0 c'est l'intégrale de 1 à 3 évidemment est en tout cas sur cette portion l'art donc entre 1 et 3 je sais que f 2 x est égal à x moisins donc ça je vais pouvoir le remplacer ici j'ai donc l'intégrale de 1 à 3 2 x - 1d x maintenant il faut qu'on calcule ses deux intégrales là ça va pas être trop difficile on pourrait même le faire géométriquement très facilement puisque ici cette intégrale la l'intégrale de 0,1 de moins x + 1d x c'est l'ère de cette partie là qui est comprise entre la droite d'équations y égales - x + 1 et l'axé des abscisses entre les valeurs 0 et 1 et puis cette intégrale à 2,1 à 3,2 x moisins dx et bien c'est cette terre-là alors ici j'ai deux donc la c3 et donc ici mon intégral c'est l'ère de toute cette portion de plan ici donc on pourrait très facilement puisque ce sont des triangles avec de la géométrie élémentaire calculé chacune de ces aires est donc finalement calculé l'intégrale qui nous est demandé mais bon on va quand même le faire avec des méthodes de calcul intégral ici je dois trouver une primitive de moins x + 1 et puis il a calculé entre un et zéro donc je vais l'écrire comme ça entre un et zéro donc je vais calculer une primitif de -6 +1 trouvé sa valeur pour x égal 1 et soustraire sa valeur pour x égal zéro alors une primitive de -6 c'est moins x au carré sur 2 x c'est une fonction puissance cx puissance 1 et est donc pour trouver une primitif j'augmente l'exposant de 1x au carré et je divise par sept exposants ensuite j'ai une primitive de 1 alors une primitif 2 1 c'est tout simplement x effectivement quand tu dérive x ça donne bien un et puis ensuite je vais chercher une primitive 2x moins un que je vais calculée entre 1 et 3 alors une primitif de x on l'a vu tout à l'heure c'est x au carré sur deux et puis mme primitif 2 - 1 c'est moins x alors maintenant je vais faire ses calculs la alors ici je vais avoir la valeur de cette expression pour x égal 1 donc c'est moins un au carré c'est à dire 1 sur 2 + 1 voilà et puis je dois soustraire la valeur de cette expression là pour x égal zéro alors c'est moins 0 au carré sur 2 + 0 tu vois ça ça fait zéro tous est égal à zéro et donc finalement cette partie là de mon calcul c'est moins un demi plus un c'est à dire 1 mois 1/2 plus un ça fait un demi voilà et puis alors évidemment il faut pas oublier la deuxième intégral je vais le faire ici et pour ça je dois d'abord calculé la valeur de cette expression là pour x égal 3 donc ça me donne trois au carré c'est à dire neuf sur 2 - 3 et puis soustraire la valeur de cette expression pour x égal 1 alors ici j'ai un au carré sur deux c'est à dire un demi - a alors 9,2 me -3 je peux l'écrire comme neuf demi - 6/2 donc ça fait en fait trois demis donc ça c'est 3/2 et puis ici j'ai un demi - 1 ça fait moins un demi et donc finalement j'ai trois demis - - 1/2 ça fait trois demis + 1/2 c'est à dire quatre demies donc ici j'ai un demi +4 demi et ça eh bien c'est égal à 5 2 me qui est donc la valeur de notre intégral ici