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Cours : Analyse (version de 2017) > Chapitre 4

Leçon 18: Intégrales impropres

Intégrales impropres

Un rappel de cours et des exercices pour vérifier que vous avez bien compris.

Qu'appelle-t-on une intégrale impropre ?

Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction

f

est illimité, alors l'intégrale de

f

sur cet intervalle est dite impropre.

C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est

- \infty

+ \infty

. Dans ces cas-là, l'intégrale de la fonction de

a

+ \infty

est la limite de l'intégrale de

f

a

b

lorsque

b

tend vers

+ \infty

, et l'intégrale de la fonction de

- \infty

a

est la limite de l'intégrale de

f

b

a

lorsque

b

tend vers

- \infty

. Par exemple,

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x = lim_{b \to + \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x

C'est aussi le cas de l'intégrale de

c

b

d'une fonction

f

qui tend vers l'infini lorsque

x

tend vers

c

(ou vers

b

). Si

f

tend vers

+ \infty

lorsque

x

tend vers

c

, alors l'intégrale de

f

c

b

est la limite de l'intégrale de

f

a

b

lorsque

a

tend vers

c

. Par exemple,

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = lim_{a \to 0^{+}} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

Si l'aire sous la courbe du domaine illimité est finie, alors l'intégrale impropre correspondante est dite convergente. Si cette aire est infinie, elle est dite divergente.

La vidéo.

1 - Calcul d'une intégrale impropre dans le cas où l'une des bornes est $- \infty$ ‍ ou $+ \infty$ ‍

Voici par exemple le calcul de

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x = lim_{b \to + \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x

. On sait calculer l'intégrale de

1

b

de la fonction

f : x

\mapsto

1 / x^{2}

. Pour revoir la méthode, cliquez ici

\begin{aligned} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x & = \int_{1}^{b} x^{- 2} d x \\ = {[\frac{x^{- 1}}{- 1}]}_{1}^{b} \\ = {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{b} \\ = - \frac{1}{b} - (- \frac{1}{1}) \\ = 1 - \frac{1}{b} \end{aligned}

On calcule sa limite quand

b

tend vers

+ \infty

\begin{aligned} lim_{b \to + \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x & = lim_{b \to + \infty} (1 - \frac{1}{b}) \\ = 1 - 0 \\ = 1 \end{aligned}

Exercice 1.1

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{3}} d x = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Calcul d'une intégrale impropre dans le cas où la limite de la fonction en l'une des bornes est infinie

Voici par exemple le calcul de

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = lim_{a \to 0} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

. On calcule d'abord l'intégrale de

a

1

\begin{aligned} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x & = \int_{a}^{1} x^{^{- \frac{1}{2}}} d x \\ = {[\frac{x^{^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}}]}_{a}^{1} \\ = [2 \sqrt{x}]_{a}^{1} \\ = 2 \sqrt{1} - 2 \sqrt{a} \\ = 2 - 2 \sqrt{a} \end{aligned}

On calcule sa limite quand

b

tend vers

+ \infty

\begin{aligned} lim_{a \to 0} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x & = lim_{a \to 0} (2 - 2 \sqrt{a}) \\ = 2 - 2 \times 0 \\ = 2 \end{aligned}

Exercice 2.1

\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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Analyse (version de 2017)

Cours : Analyse (version de 2017) > Chapitre 4

Qu'appelle-t-on une intégrale impropre ?

1 - Calcul d'une intégrale impropre dans le cas où l'une des bornes est −∞‍ ou +∞‍

2 - Calcul d'une intégrale impropre dans le cas où la limite de la fonction en l'une des bornes est infinie

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1 - Calcul d'une intégrale impropre dans le cas où l'une des bornes est $- \infty$ ‍ ou $+ \infty$ ‍