Primitives d'une fonction puissance (leçon)

La formule des primitives d'une fonction puissance

n

est un nombre rationnel différent de

- 1

f (x) = x^{n}

n \neq - 1

, alors

F (x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

La dérivée de

x^{n + 1}

est

(n + 1) x^{n}

, donc une primitive de

x^{n}

est le quotient de

x^{n + 1}

par

n + 1

N’oubliez pas que cette formule ne s’applique pas à

n = - 1

Elle est facile à retrouver à partir de la formule de dérivation des puissances.

La vidéo.

Primitives d'une fonction polynôme

La formule permet de calculer les primitives de n'importe quelle fonction polynôme. Soit, par exemple, la fonction

f

définie par

f (x) = 3 x^{7}

. Ses primitives sont les fonctions

F

telles que :

\begin{aligned} F (x) & = 3 (\frac{x^{7 + 1}}{7 + 1}) + C \\ = 3 (\frac{x^{8}}{8}) + C \\ = \frac{3}{8} x^{8} + C \end{aligned}

Vous pouvez vérifier votre résultat en calculant la dérivée de la primitive que vous avez calculé !

Exercice 1

Les primitives de la fonction définie par

f (t) = 14 t

sont :

D'autres exercices :

Primitives d'une fonction puissance si l'exposant est un entier naturel
Primitives d'une fonction puissance si l'exposant est fractionnaire ou négatif
Primitives d'une fonction polynôme

Primitives d'une fonction puissance d'exposant négatif

Soit, par exemple, la fonction

f

définie par

f (x) = \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}

\begin{aligned} Ses primitives sont les fonctions F définies par : \\ F (x) = \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} + C \\ F (x) = \frac{x^{- 1}}{- 1} + C \\ F (x) = - \frac{1}{x} + C \end{aligned}

Exercice 1

Les primitives de la fonction

f

définie sur

ℝ^{*}

par

f (t) = 8 t^{- 3}

sont les fonctions :

D'autres exercices :

Primitives d'une fonction puissance si l'exposant est un entier naturel
Primitives d'une fonction puissance si l'exposant est fractionnaire ou négatif
Primitives d'une fonction polynôme

Primitives des fonctions puissances d'exposant fractionnaire

Soit, par exemple, la fonction

f

définie sur

[0; + \infty [

par

f (x) = \sqrt{x}

\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} & = x^{^{\frac{1}{2}}} \\ F (x) & = \frac{x^{^{\frac{1}{2} + 1}}}{\frac{1}{2} + 1} + C \\ = \frac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}} + C \\ = \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3} + C \end{aligned}

Exercice 1

Les primitives de la fonction

f

définie par

f (t) = 4 t^{\frac{1}{3}}

sont :

D'autres exercices :

Primitives d'une fonction puissance si l'exposant est un entier naturel
Primitives d'une fonction puissance si l'exposant est fractionnaire ou négatif
Primitives d'une fonction polynôme

Analyse (version de 2017)

Cours : Analyse (version de 2017) > Chapitre 4

Primitives d'une fonction puissance

La formule des primitives d'une fonction puissance

Primitives d'une fonction polynôme

Primitives d'une fonction puissance d'exposant négatif

Primitives des fonctions puissances d'exposant fractionnaire

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