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Primitive de tan x

A première vue ce n'est pas évident, mais la règle de dérivation des fonctions composées permet, si on la "lit" à l'envers, de déterminer une primitive de la fonction tan(x).

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Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va essayer de trouver une primitive de la fonction tangente de x alors mais la vidéo sur pause essaye de le faire de ton côté mais avant ça je te donne quand même une petite indication qui peut être utile c'est qu'il faut penser à la règle de dérivation des fonctions composé lui à l'envers comme on l'a fait dans d'autres vidéos alors à toi de jouer et puis on se retrouve donc maintenant que tu réfléchis alors j'ai une première remarque c'est que peut-être tu as été complètement perturbée par l'indication que je t'ai donné c'est à dire que tu n'a peut-être pas du tout vu pourquoi la règle de dérivation des fonctions composé lui à l'envers pouvait être utile ici et si c'est le cas ben c'est pas très étonnant puisque effectivement ici on a une fonction tangente 2x qui est donnée comme ça donc c'est pas évident de faire le lien avec la règle de dérivation des fonctions composé alors en fait quand tu as une fonctions trigonométriques comme celle là où comme par exemple qu tangente de x ou 72 x ou conséquent de x je pense que la meilleure chose à faire c'est de revenir aux définitions puisque là tu as quand même un peu plus de matière puisque les définitions fait en général apparaître les fonctions sinus et caussinus qui sont plus faciles à manier alors ce qu'on sait nous c'est que la fonction tangente 2x et bien ses sinus 2x sur caussinus de x et en fait ça je peux même l'écrire comme ça c'est sinus 2 x x 1 / caussinus x alors ça ça te paraît peut-être un jeu d'écritures parfaitement inutile mais tu vas voir qu'en fait c'est là-dessus qu'il faut se baser d'ailleurs à ce stade là j'aimerais bien que tu re met la vidéo sur pause et que tu regardes la règle de dérivation des fonctions composer je vais te l'a rappelé ici la voilà la dérivée de la fonction v de u2 x qui est une fonction composer et bien c'est une prime de x x v prime de u2 x donc maintenant à toi de jouer essaye de trouver une identification de cette expression avec celle ci pour pouvoir avancer je pense que la première chose qu'on peut remarquer ce que ici dans cette expression on a une fonction de composer donc ce terme là en fait si on doit faire une envie une identification et bien il va s'identifier avec celui ci donc ça ça veut dire que v prime 2 u2 x v prime de u2 x et bien ici ça sera un sur caussinus x alors je vais l'écrire comme ça c'est un sûr caussinus x donc ça ça veut dire déjà que on a une fonction eu 2 x qui est égal à caussinus x et donc on peut tout de suite déterminé sa dérive et une prime de x et bien c'est la dérive et de cosinus x donc c'est moins cygnus x donc ici on avait prime de u2 x et ici ce terme là cygnus x c'est pas tout à fait une prime de x c'est sont opposés mais ça c'est pas très gênant puisque ce qu'on peut faire c'est multiplier deux fois par -1 cette expression là donc je vais avoir moins et puis je vais ouvrir une parenthèse - sinus x x 1 / caussinus x en fait là j'ai absolument rien changé à mon expression c'est toujours la fonction tangente de x mais ici ce que je peux voir c'est que ce terme la cu primes de x voilà donc tu vois l'identification est terminé maintenant on a juste à faire quelques calculs alors v prime du dx on la définit comme étant un sur caussinus x ce qui veut dire que la fonction des primes de x et bien c'est un sur x de la manière dont on la définit ici du coup on peut tout de suite déterminé sa primitive enfin une primitive v2x c'est logarithme de valeur absolue 2x plus une constante et là on a tout ce qu'il faut puisque l'expression qui est dans la parenthèse ici et bien c'est une prime de x x v prime de u2 x donc si on doit chercher une primitive de cette fonction là eh bien on l'a tout de suite cv de u2 x donc je vais l'écrire ici une primitive de v 2 - sinus ix x 1 / caussinus x et bien ça c'est v de u2 x v de u2 x et pour nous ça c'est égal à leur v2x et logarithme de valeur absolue de x et y de xc le cosinus 2x donc finalement on a cette fonction-là logarithme de valeur absolue de cosinus x plus une constante alors ça c'est la primitive de l'expression qui est entre parenthèses tangente x n'est pas égal à cette expression la mer sont opposés mais du coup une primitive de tangente de x c'est l'opposé de cette fonction là donc c'est moins logarithme de valeur absolue de cosinus x plus une constante voilà ça c'est notre résultat on a déterminé une primitive de la fonction tangente de x je m'engage à vérifier que si tu dérive cette fonction là tu vas bien obtenir la fonction tangente 2x est en tout cas voilà c'était un autre exemple assez parlante pour montrer l'utilité de cette règle de dérivation des fonctions composé lui à l'envers