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Fonctions continues sur tout l'ensemble des nombres réels

On donne les fonctions eˣ  et  √x et on demande de déterminer si elles sont continues sur tout l'ensemble des réels. De manière générale, les fonctions usuelles sont continues sur tout leur ensemble de définition..

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lesquels de ces fonctions sont continues sur air alors nous donne ces deux fonctions la première c'est la fonction exponentielle et la deuxième la fonction j'ai c'est la fonction racine carrée alors avant de répondre à ces questions là on va se rappeler un petit peu de ce que ça veut dire qu'une fonction et continue mais pour ça je vais faire un petit dessin je fais un repère voilà donc ici y ait ici x voilà alors c'est une représentation graphique d'une fonction continue et au fond qu'est-ce que ça veut dire eh bien ça veut dire que cette fonction-là n'a pas de discontinuité n'a pas de sot ou deux trous dans sa courbe représentative donc je vais être assez ici un exemple de fonction continue sur l'ensemble des réelles par exemple ça action qui continue en fait tous les points sont reliés entre eux ils sont connectés les uns aux autres tous les points de cette courbe là et il n'y a pas de trou de saut de discontinuité dans cette courbe là maintenant je vais tracer une courbe représentatif d'une fonction qui n'est pas continue alors je peux avoir un type de discontinuité asymptotique voilà quelque chose comme ça une partie de la courbe qui est comme ça et puis une deuxième qui fait quelque chose comme ça voilà ça c'est pas une courbe continue elle n'est pas continuer à zéro puisque ici à deux portions de la courbe qui ne sont pas connectées entre elles je pourrais avoir un autre exemple qui est celui ci par exemple celui d'un saut de discontinuité donc on aurait une première portion qui est comme ceci et puis une deuxième comme cela voilà et tu vois que la fonction ici en ce point là elle et définir puisque l'image et ce point-ci mais il ya un saut de discontinuité là encore en a deux portions qui ne sont pas connectées entre elles alors il pourrait y avoir un autre cas quelque chose comme ça où il y a un trou ici la fonction n'est pas défini en ce point là et ensuite elle continue donc là c'est pareil on a encore deux portions de la courbe qui ne sont pas connectés cette partie là et cette partie là avec un trou au milieu dans ce cas là on dirait que la fonction est prolongeable par continuité et d'ailleurs dans un cas comme celui-ci on pourrait très bien avoir une fonction qui est défini en ce point là mais dont l'image n'est pas celle ci un ça pourrait être un point ici ailleurs voilà donc ça ce sont plusieurs exemples en rose de fonctions non continue et ce qui est certain en tout cas c'est que pour qu'une fonction soit continu sur un intervalle il faut qu'elles soient définies sur cet intervalle alors si tu veux on peut regarder ça maintenant d'un point de vue mathématiquement un peu plus rigoureux que ça en fait une fonction f et continue - a leur x égal à de la variable si et seulement si la limite x temps vera de f 2 x c'est l'image de à part la fonction f donc f2 à voilà donc effectivement encore une fois pour qu'une fonction que soit continuant x égal à il faut qu'on puisse calculer l'image de à part la fonction f donc il faut que la fonction soit défini en a et par extension on dira qu'une fonction et continue sur un intervalle si cette propriété là et vérifiées pour tous les nombreux à de cet intervalle alors ici on cherche les fonctions qui sont continues sur tout l'ensemble des réelles r tout l'ensemble des réelles donc il faut qu'elles soient définies sur tout cet ensemble là or la fonction racine carrée de xxi si la fonction j'ai celle ci elle n'est pas défini sur air puisqu'on peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif celle ci elle est définit uniquement dur r plus pour x positif ou nuls et donc finalement cette fonction gel ne peut pas être continu sur air donc on peut paraît déjà cette réponse là et cette réponse là alors la fonction af par contre qu'est la fonction exponentielle on sait d'après le couvre que celle là elle n'a aucune discontinuité en fait je peut tracer sa courbe représentative ici c'est quelque chose comme ça fini surtout les nombres réels on peut calculer e puissance x pour n'importe quelle valeur de x et puis il n'y a aucun saut de discontinuité aucun trou dans la courbe représentative donc cette fonction là elle est continue sur air donc la bonne réponse c'est celle ci alors là je n'ai pas fait une preuve très très rigoureuse de sart j'ai plutôt fait appel à ton cours et aux propriétés de la fonction exponentielle mais si tu veux ça serait un bon exercice de décès de faire une démonstration plus rigoureuse de ce qu'on vient de dire ici du fait que la fonction exponentielle et continue sur r en utilisant cette définition là que je viens de te redonner