Théorème des valeurs intermédiaires - Savoirs et savoir-faire

Si la fonction $f$‍ est continue sur $[a;b]$‍, alors $f$‍ prend au moins une fois toute valeur comprise entre $f(a)$‍ et $f(b)$‍.

ce qui signifie que quel que soit le réel $L$‍ compris entre $f(a)$‍ et $f(b)$‍, l'équation $f(c)=L$‍ a au moins une solution dans l'intervalle $[a;b]$‍.

Graphiquement, une fonction continue sur un intervalle $I$‍ est une fonction dont on peut tracer la courbe représentative sur $I$‍ sans lever le crayon. Si la fonction $f$‍ est continue sur l'intervalle $[a;b]$‍ et si sa courbe passe par les points de coordonnées $(a,f(a))$‍ et $(b,f(b))$‍...

... alors quel que soit le réel $y$‍ compris entre $f(a)$‍ et $f(b)$‍, la courbe passe au moins une fois par un point d'ordonnée $y$‍.

Ce théorème a un corollaire : Si la fonction $f$‍ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$‍, et si le réel $L$‍ est compris entre $f(a)$‍ et $f(b)$‍, alors l'équation $f(x)=L$‍ a une seule solution dans l'intervalle $[a;b]$‍.

Soit ce tableau de valeurs de la fonction $f$‍ continue sur $ℝ$‍. On peut en déduire que l'équation $f(x)=2$‍ a au moins une solution et un encadrement de la solution, ou des solutions.

$f(-1)=3$‍ et $f(0)=-1$‍. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, sur l'intervalle $[-1,0]$‍, la fonction $f$‍ prend au moins une fois toute valeur comprise entre $-1$‍ et $3$‍.

$2$‍ est compris entre $-1$‍ et $3$‍, donc il existe au moins un réel $c$‍ appartenant à $[-1,0]$‍ tel que $f(c)=2$‍. Par conséquent, il existe au moins un réel $c$‍ compris entre $-1$‍ et $0$‍, solution de l'équation $f(x)=2$‍.