Cas pratique : utiliser le théorème des valeurs intermédiaires

f et continue sur l'intervalle -5 0 donc une fonction continue sur l'intervalle fermé - 5 0 et ses valeurs aux bornes de cet intervalle son f2 -5 et gagnent 0 et f20 égale 5 d'après le théorème des valeurs intermédiaires quelle est la proposition vraie alors on va reprendre un petit peu tout ça en se rappelant de ce que ce que c'est que le théorème des valeurs intermédiaires donc on a une fonction continue sur un intervalle fermé donc on est effectivement dans les conditions d'application du théorème des valeurs intermédiaires est ce qu'on sait c'est que l'intervalle de continuité c'est moins 5,0 et aussi ce qu'on sait c'est que f 2 - 5 f de -5 et bien c'est égal à zéro et f 2 0 est égal à 5 alors ce que dit le théorème des valeurs intermédiaires c'est que quand on a une fonction continue sur un intervalle fermé et bien cette fonction la prends n'importe quelle valeur entre l'image de la borne inférieure de l'intervalle et l'image de la borne supérieure de l'intervalle autrement dit ici pour toutes pour tous nombre je vais l'appeler elle pour tous nombre elle dans l'intervalle f de -5 f20 donc dans l'intervalle ici 0,5 eh bien il existe un nombre je vais appeler c'est dans l'intervalle moins 5 zéro tel que tel que f2 c est égal à grand elle je prends n'importe quel point dans l'intervalle 0,5 et bien en fait ce point là a un antécédent par la fonction et cet antécédent c'est une valeur c'est qui est comprise entre -5 et 0 alors en fait le théorème des valeurs intermédiaires nous dit qu'il existe au moins une valeur ces deux l'intervalle -5 0 tels que f2 c est égal à elle et ça on peut l'interpréter finalement en termes d'équations puisque s'il existe au moins une valeur c'est dans l'intervalle -5 0 tels que f2 c est égal à elle pour tout grand hôtel appartenant à 0,5 eh bien ça veut dire que l'équation f 2 x égale grand elle à au moins une solution à au moins une solution dans l'intervalle alors c'est valdé valeur de x donc dans l'intervalle moins 5 zéro alors maintenant qu'on a traduit sa de cette manière là on va examiner les propositions qui sont donnés ici l'équation f 2 x égal 2 à au moins une solution dans l'intervalle 0,5 alors là finalement il ya quelque chose qui va pas du tout déjà c'est que l'intervalle dont on part c'est l'intervalle 0,5 et cet intervalle ah c'est pas du tout l'intervalle sur lequel on sait que la fonction et continue donc ça c'est pas la bonne solution ça ne peut pas être la bonne solution la deuxième l'équation fdx égal moins deux à au moins une solution dans l'intervalle -5 0 donc ça c'est le bon intervalle cette fois ci pour les valeurs de la variable x on sait que sur cet intervalle la nôtre fonction va être continu par contre ici - 2 n'appartient pas à l'intervalle 0,5 il faut que l'on prenne un nombre de l'intervalle 05 n'importe quelle valeur de l'intervalle 05 donc comprise entre 0 et 5 et dans ce cas là on sera sûr que l'équation f 2 x et galles cette valeur-là à au moins une solution dans l'intervalle -5 0 mais là on ne peut rien dire là-dessus puisque la valeur - 2 n'appartient pas à l'intervalle 05 donc ça c'est pas la bonne solution non plus ensuite l'équation fdx égal moins deux à au moins une solution dans l'intervalle 05 donc là c'est faux aussi puisque d'une part cet intervalle là n'est pas le bon et puis cette valeur la moins de n'appartient pas d'intervalle 05 donc cette proposition là n'est pas la bonne non plus je peux bars et les trois premières comme ça alors il nous reste la dernière on va quand même regarder normalement elle doit être juste d'avoir quand même l'examiner l'équation fdx égal 2 à au moins une solution dans l'intervalle -5 0 alors ici deux c'est bien une valeur qui est comprise entre 0 et 5 1 donc 2 appartient bien à l'intervalle 05 intervalle ferme et 0,5 et on cherche un nombre de l'intervalle -5 0 qui est un antécédent de cette valeur 2 par la fonction f1 c'est exactement ça donc effectivement là le théorème des valeurs intermédiaires nous dit bien que pour cette valeur 2 qui est comprise entre 0 et 5 eh bien il existe au moins un nombre de l'intervalle -5 0 qui a pour image d'eux donc c'est à dire qu'il existe au moins une solution de l'équation fdx égal 2 donc ça c'est la bonne solution alors on peut quand même se représenter les choses visuellement tu vas voir que ça va prendre tout son sens alors je vais tracer un repère voilà comme ça et sur l'axé des abscisses ici je vais prendre alors donc la fonction et continue entre -5 et zéro donc je vais mettre moins 5 ici c'est rossellat et donc 5 c'est ici à peu près et puis sur l'axé des ordonnées je vais mettre cinq ici alors maintenant je sais que l'intervalle sur lequel la fonction et continue ses l'intervalle -5 0 donc c'est tout cet intervalle là et je sais aussi que la fonction la courbe représentatives de la fonction va passer par le point de coordonner -5 0 donc c'est ce point qui est ici et par le point aussi de coordonner 05 donc et ce point là voilà alors évidemment je ne connais pas la fonction f donc ne peut pas vraiment tracer sa courbe représentative mais ce que je sais c'est que lé continue surtout cet intervalle l'a donc si je veut tracer sa courbe représentative en fait ça reviendra à tracer une courbe ininterrompue qui va de ce point là à ce point là sans faire de retour en arrière pour que ce soit une fonction donc par exemple je peux faire quelque chose comme ça voilà ça c'est un candidat possible et donc ici si on regarde l'intervalle entre f20 et f 2,5 donc l'intervalle 05 cet intervalle là et bien tu peux prendre n'importe quelle valeur dans cet intervalle entre st entre 0 et 5 par exemple ici et bien ce nombre-là correspondre a alors donné d'un point de la courbe ici c'est celui ci donc effectivement on aura une solution de l'équation fdx égal elles au moins une solution dans cet intervalle la voilà ça ça sera le petit c'est donc un nombre donc on est sûr qu'il existe au moins un nombre c'est tel que f2 c est égal à l es tu vois que si je prends l dans cet intervalle 5-0 et bien le petit s'est il appartient effectivement à l'intervalle -5 0 voilà alors ça c'est une possibilité j'aurais pu faire des tas d'autres courbin par exemple j'aurais pu tracer une ligne droite et dans ce cas là on aurait eu aussi une valeur ces deux l'intervalle -5 0 qui a pour image elle même j'aurais pu tracer quelque chose de bien plus compliqué une courbe par exemple comme celle là que tu vois pour une courbe comme ça je n'aurais pas eu qu'une seule qu'un seul nombre c'est dans l'intervalle -5 0 qui a pour image elle puisque en fait j'aurais eu aussi ce point là et même ce point là donc j'aurais eu deux autres valeurs ici je vais l'appeler ses 2 et celle ci je vais l'appeler c'est rond en tout cas ce qu'on peut déterminer ici c'est que si la fonction et continue entre -5 et 0 et bien quelles que soient les biens toutes les valeurs de cet intervalle à 0,5 sont des valeurs prises par notre fonction f