Formule d'Euler et identité d'Euler

dans une vidéo précédente on a vu ensemble la développement en série de laurens de mc lorin de la fonction f 2 x égale exponentielle de x et donc on a vu que le polynôme associés c'était celui ci est ensuite on a fait une remarque on a remarqué en fait que dans ce lens polinum là il y avait des termes qui correspondait à peu près à ce qu'on trouvait dans l'est dans le développement de la fonction cosigné x à certains signes près tu te rappelles par exemple le moins x2 sur deux est devenu un x2 sur deux donc c'est quand même pas tout à fait la même chose des problèmes de signes et les différences de signes mais on voit que ça a l'air d'être une certaine combinaison à la fois de du développement de la fonction qos indx et du développement de la fonction si musique ce alors pour aller un peu plus loin et pour mettre le doigt précisément sur le sur la manière dont sont combinées ses fonctions il faut qu'on fasse le développement le calcul de ce qui se passe pour exponentielle de ix c'est à dire que se passe-t-il lorsque ff2 x est égal à exponentielle de x et bien déjà ce qu'on peut dire c'est que là on peut utiliser ce polinum là et remplacé petit x par hynix et donc là on va obtenir quoi eh bien on va obtenir p 2 x est égal à 1 + 1 x + ix au carré sur 2 + x au cube sur trois factorielle plus x puissance 4 sur 4 factorielle plus x puissance 5 / 5 / acte aurait elle plus etc alors maintenant on comment on peut et est-ce qu'on peut aller plus loin oui en calculant vraiment ce que ce que vaut par exemple x au carré ix au cube alors tu te rappelles bien sûr que io carré vous - un donc un premier terme qu'on peut évaluer la cse ix au carré ix au carré bien cio car et c'est à dire moins 1 x x carré et x au cube ça va être un x au carré fois ix donc au final ça va être moins zee x au club et s'était ensuite pour les suivants on peut raisonner comme ça en remuant suppliant bar x 10 x puissance 4 ça va être il choisit moins un qui va s'annuler avec ceux - et il suit sens 4 donc si je reprends l'expression p 2 x je peux écrire que p 2 x c'est égal à 1 + x ça je peux pas y toucher ensuite plus ils xo carrés sur deux et ix au carré on a vu que c'était moins x o car est donc moins x au carré sur deux souffre actuariel de c'est pareil ensuite le terme d'après c'est le terme au cube x au cube sur trois facteurs y est et on voit que ça fait moins zee xo cube sur trois factorielle ensuite le terme d'après c'est le x puissance 4 qui donne x puissance 4 donc il ya un plus ex-puissance 4 sur 4 factorielle le terme d'après ce serait un x puissance 5 donc ce serait x puis 105 c'est-à-dire ix puissance 4 x x donc y x x puissance 5 plus avec un + + 6 x x puissance 5 sur 5 factorielle est donc là on voit qu'il ya eu deux termes positifs deux termes négatifs de termes positifs donc on se doute que les suivants sont négatifs on peut vérifier pour le suivant disons le suivant c'est x puissance 6 donc c'est la même chose que ix puissance 5 c'est-à-dire y x x x 105 x et x donc il faut y va donner - 1 et il va y avoir ensuite le x puissance 6 donc moins x puissance 6 / 6 facture elle est ensuite donc tous les terrains alors maintenant on va faire quelque chose on va regrouper les termes réels et les termes imaginaire donc les termes réels c'est ceux qui n'ont pas de préfet acteurs en donc il ya celui-ci le hand un plus d'ailleurs ça va être un plus ça va être moins parce que le suivant c'est celui ci x carrés sur deux ensuite celui-ci plus x puissance quatre sur quatre et là tu es peut-être en train de te dire là je suis en train de reconnaître quelque chose bah oui effectivement tu est peut-être en train de reconnaître quelque chose et c'est ça qui est hyper intéressant je vais y revenir dans quelques instants plus ses bas tous les autres termes réels que je pourrais trouver si je continuais de développer le polynôme pdx ensuite les termes imaginaire et bien ils commencent tous par ea donc je vais factoriser paris et je vais changer de couleur voilà plus un facteur 2 le premier terminé là xxx ensuite le terme suivant il est là donc là il d'ailleurs - x au cube sur factorielle 3 ensuite il est là le terme suivant cx puissance avec un +6 puissance 5 sur 5 factorielle plus et c est donc là encore il ya quelque chose de 2,2 très marrant qui est en train de se passer c'est qu'on voit une on voit qu'il ya que les puissances un père et il ya une alternance de signes et ça ça te rappelle peut-être la fonction sinus qui est là de même que ce qu'on avait regroupé au départ là la partie réelle de paix de x ça commence par un il ya une alternance de signe donc plus - plus - etc et en plus on n'a que les puissances père et bah ça ça te rappelle peut-être que si mu x1 - x carrés sur 2 + x puissance 4 - x puis 106 et c'est donc là c'est exactement la même chose et donc en fait on peut écrire que p 2 x cecos sinueuse x + i686 si j'écris côté musique ce c'est que je sous-entend que je prends en compte tous les termes et si j'écris cygnus x c'est que je sous entends que je prends en compte tous les termes jusqu'à l'infini donc si je les ai pris en compte dans ces deux expressions c'est que je les ai pris en compte dans celle ci aussi l'âge et j'imagine que j'utilise tous les termes jusqu'à l'infini et donc si on les utilise tous jusqu'à l'infini qu'est ce que c'est que cette série est bien on l'a calculé c'est exponentiel de x donc ce que je viens d'écrire c'est que exponentielle de ix est égal à qosi muzzix plus y signe ou six et ça c'est une relation importante et qui du coup a un nom qui s'appelle la formule de l'air donc c'est la formule de l'air et avant de conclure cette vidéo je vais prendre un cas particulier de la formule de l'air je vais là calculé pour x égale pis c'est à dire que je vais calculé eux hippie exponentielle de hippies bah ça vaut quoi bah ça va valoir caussinus de pi alors le cercle trigo il est comme ça là on est à 0 il faut aller de l'autre côté pour être rapide c'est à dire qu'il faut être là la cepi et bien caussinus de pi savent au moins 1 et i fois sinus de pi ca fait il faut à zéro puisque le sinus vos héros dont qui a rien du tout ça on peut le réécrire aussi exponentielle de hippies +1 est égal à zéro et cette formule elle est assez incroyable et elle a aussi un nom c'est l'identité de l'air l'identité de l'air pourquoi elle est incroyable mais parce que regarde dans cette dans cette formule il ya tout un tas de choses différentes et pourtant elle forme une équation quelles sont ces différentes choses déjà il ya l'exponentielle le terme exponentielle à lui tout seul c'est l'exponentielle c'est un terme qui a été inventé pour en rapport avec la base logarithmique d'accord pour que fln de l'expo n'en ciel de un bail 1 c'est-à-dire élaine deveault 1 il lui quant à lui s'est défini pour faire du calcul comme racine de - 1 pi lui c'est plutôt un terme géométriques qui permet de relier le périmètre d'un cercle et son diamètre et puis 1 et 0 ces deux nombres fondateur que je vais pas présenté ici donc cette cette relation elle est vraiment intéressante puisque un mélange tout ça à la fois pour avoir une équation très simple exponentielle de hippies +1 est égal à zéro