Erreur (ou reste) de l'approximation par une série de Taylor

soit f de l'x une fonction que je peux représenter sur ce graphique si grec n'importe comment donc c'est une fonction complètement arbitraire là que je te choisis voilà comme ça par exemple et donc dans cette vidéo on va s'intéresser au développement en série de taille lors de cette fonction c'est à dire à l'approximation de cette fonction par un polynôme autour du point a donc le point je vais le mettre là par exemple voilà donc il est là le point sur la fonction et donc on va s'intéresser au développement autour de ce point là alors ce que tu sais c'est que on a besoin de la connaissance du coût de la valeur de f1 à sa dérive et en a et toutes les dérives et de cette fonction aura pour pouvoir calculer le polynôme associé à la série de taylor donc je te rappelle les différents termes de ce polinum donc déjà ce polinum on va écrire qu'on va s'arrêter à l'ordre n c'est à dire que la plus haute puissance de x sera petit n on le développe autour du point a et donc c'est une fonction de x donc le premier terme cf 2 a ensuite on af prime de à facteur 2 x - za on a ensuite f seconde la dérivée seconde de à x x - za au carré sur factorielle deux plus la dérive et troisième de à x x - à au cube sur factorielle 3 plus et caetera et quel est le dernier terme c'est celui d' ordre n donc c'est la dérive et nm2 f1 a multiplié par x - za puissance n sur aisne factorielle voilà donc ça c'est ça c'est le développement en série de taylor à l'ordre haine de la fonction f donc graphiquement ça va nous donner quoi ça en fonction de la qualité c'est à dire en fonction de l'ordre contre est ce qu'on prend plus ou moins deux termes ça va nous donner une plus ou moins bonne approximation donc là je vais dessiner une approximation qui est pas génial génial mais voilà donc elle est comme ça elle est plutôt proche de la de la fonction c'est une approximation qui est pas top voilà ce qui est important de remarquer c'est qu'elle passe par la fonction aura est-ce que c'est obligatoire ça oui c'est obligatoire parce que regardent ce polinum il a la propriété à part le premier terme d'avoir des termes en x - n'a donc x - za puissance 1 x moisa au carré x - invaincu et c'est ce qui veut dire que pour x égal à un hic ces gars là on a le polinum qui est égale à tous ces termes en ségala vannes 0 il reste plus que ce terme là c'est à dire f2 à le polynôme 2° haine autour de à en est égal à f2 a donc forcément le polynôme en a il est parfait il passe par la fonction alors là tu remarques que j'ai enlevé petite est née petit tas parce que je vais faire comme ça pour tout le reste de la vidéo je vais plus précisé que ce polinum c'est un polynôme 2° haine autour de à donc je les fais au début après je vais l'oublier mais bien sûr que je pourrais rajouter si je voulais les indices ici petit tu n es petit tu as donc je te rappelle ce qu'ils veulent dire petite haine ça veut dire que le polinum il est de degré n es petit tu as ça veut dire qu'on est en train d'approximations fonctions autour de à ça se voit pas ce qu'on fait intervenir que les dérivés de autour de moi enfin en attendant f2f prime de af secondes 2 avec ses textes voilà je te rappelle aussi que parmi les propriétés qui ont été utilisés pour construire carrément cette série de taylor pour construire ce polinum la une des propriétés ça a été que on veut absolument que toutes les dérives et du polinum en soit égal aux dérivés de la fonction en a c'est à dire que la dérive et énième du polinum aura est égale à la dérive énième de la fonction aura et sa sas est cette équation ça fait partie de ce qui nous a permis de construire notre pauline à main donc c'est important de s'en rappeler alors maintenant évidemment qui dit approximations 10 erreurs puisque je fais une approximation sais que je ne suis pas parfait dans cette vidéo et même dans la suivante on va s'intéresser à l'erreur qu'on fait lorsqu'on utilise cette approximation alors l'erreur comment je peux la définir l'erreur naïvement à sait instinctivement donc je vais écrire eux comme erreur l'erreur donc l'âge précise un relatif aux polinum d'ordre rennes autour de à l'erreur qu'on appelle aussi le reste parfois le reste l'erreur est égale à la fonction la vraie f 2 x - la valeur du pôle innovant x plat comme j'aime y est né à je leur mette là aussi tout bêtement c'est ça c'est là c'est la distance entre la vraie valeur la vraie fonction et son approximation en x donc en un point b par exemple qu'est ce que ça donne cette erreur graphiquement en est en blanc là tu vois la vraie fonction et en bleu tu vois le polynôme donc l'erreur c'est cette distance là c'est cette distance verticale et on voit qu'en fonction de x l'erreur nouveau pas tout le temps la même chose c'est pour ça que l'erreur c'est une fonction de x en a par exemple erreur vous quoi on en a déjà parlé 1 l'agent lève les indices n l'erreur en x ça l'erreur en à pardon non s'intéressant à je suis récré proprement l'erreur en a cf doha - la valeur du pôle innovant à c'est-à-dire f2 à moins on a vu en a le polynôme vaut justement f2 a donc l'erreur vaut zéro en effet on x et gala le polynôme est parfaitement égale à f doit donc c'est passé même pas une approximation c'est carrément une égalité maintenant dès qu'on s'éloigne d'eux a par contre là on rentre dans le cadre de l'approximation et donc l'erreur valoir quelque chose et donc ce qui serait très intéressant c'est si on arrivait à borner l'erreur donc c'est tout l'objectif de ces deux vidéos mais bon il faut y aller pas à pas pour le moment ce qu'on va faire c'est qu'on va s'occuper de regarder certaines propriétés toujours en a donc on a vu déjà que l'erreur on en a est égal à zéro maintenant ce que je veux te montrer ses concernant la dérive et de l'erreur c'est à dire le prime ah ça a quel sens prime puisque la définition de e cf - p maheu prime cf primes - p prime puisque je l'évalué à rabat cf prime de à moin té prime de à alors on a vu aussi que dans la construction de ce polinum de cette série taylor on avait justement fait exprès que la dérive et énième de paix soit égal à la dérive et énième de f en particulier la dérive et la première dérive et paix c'est-à-dire paix prime est égale à la première dérive et 2f c'est-à-dire exprime donc des primes de à est égal à f prime doit les primes de allah est égal à l obs il était déprimé tes gars là est ce prime doit donc du coup ça fait prime de hamon exprime de là c'est à dire 0 et ainsi de suite c'est à dire que de la même manière que je les montre et pour juste la dérive et première qu'elle vous soit la valeur de la dérive et la dérive et énième de l'erreur en a été gala par définition la dérive et énième de f1 à moins la dérive et énième du polinum en ra et donc par construction la dérive énième du polynôme est égale à la dérive et énième de la fonction aura donc du coup ça ça va faire zéro à chaque fois d'accord voilà ça c'est une chose ensuite maintenant on va continuer de s'intéresser à des propriétés donc de l'erreur on va s'intéresser cette fois à la dérive et n + 1e cette fois ci n'ont pas entamé en x donc n'importe où donc la dérive et n + 1e de l'erreur en x c'est égal par définition de ce que c'est que l'erreur à la dérive et en plus il aime de la fonction - la dérive et npm du polinum donc la dérive et n plus génial de la fonction - la dérive et n + 1e de la fonction voilà alors la dérive g n + 1e de la fonction ben je peux pas en dire plus ça dépend de la fonction par contre la dérive yen + j'ai même dû polinum ça vaut quoi ça et bien à quoi est égale la dérive et qu'est ce qui se passe la commande des riffs ce polinum en fait donc quand on dérive une fois le terme constant disparaît et le terme en puissance 1 on va dire c'est à dire x - à la puissance 1 ici va quand on le dérive le xv à disparaître donc on va descendre d'un cran la valeur de la puissance de x et restera exprime toi et tous les autres la voient aussi leur grand diminue c'est à dire que x - au carré devient 2 x x sur deux c'est à dire x donc on est passé d'un x car et enfin 1 x - va au carré à 1x et puis en plus le 2 qui est passée là a été compensée par lh2 qui étaient déjà là pour faire en sorte qui s'annulent est en fait c'est la même chose pour tout le monde ce 3 la wass annulé avec le 3 ici qui est dans le 3 x 2 etc etc à chaque fois qu'on fait une dérive et en fait on descend tout le monde d'un cran en termes d'ordre en termes de degré polynomiale en particulier quand on en arrive à la énième dérive et ce terme là x qui au départ et x - à puissance n va avoir été dérivé n fois à chaque fois la valeur de la puissance va simplifier avec ce qui est là dedans la et au final il restera juste plus rien du tout c'est à dire qu'on sera arrivé à un terme constants la dérive et 2x à la fin vaudra 1 et donc il restera plus que le terme la de la dérive et énième de f prime de a donc ça c'est la dérive et énième du polinum paix qui est égal à f prime de a même si maintenant on dérive encore une fois bon des rêves une constante donc en fait ça va faire zéro donc la dérive et n + 1e de l'erreur c'est égal à la dérive et n + 1e de la fonction donc ce que je leur expliquais là à l'oral la dérive et en plus il aime du polinum pour bien le comprendre je pense que sur une feuille il serait intéressant que tu tu prennes un exemple donc tu pars par exemple dans polinum 2° et 2 juste 2 c'est-à-dire ce terme celui là est celui là d'accord et donc tu le dérive trois fois puisque c'est la dérive et n plus gêné mais tu vas voir que ça fait zéro et donc ça c'est une ses résultats généralisable mais chez toi tu peux utiliser un exemple pourtant convaincre donc là on vient de montrer sa est donc dans une dans une prochaine vidéo ce qui va nous intéresser en fait c'est d'arriver à trouver une borne sur cette dérive et de l'erreur donc l'objectif ça va être de montrer que la dérive et n + 1e 1 x peut être majorée peut être borné à la fois majoré et minorée puisqu'on prend la valeur absolue peut être borné et on va voir aussi que en travaillant un peu montré que la dérive et n + 1e de l'erreur et bornés va nous amener va nous permettre de montrer qu'on peut aussi bornés l'erreur elle même et donc ça c'est bien tout l'intérêt d'arriver à pouvoir borné l'erreur parce que pouvoir borné l'erreur ça va pouvoir nous dire que voilà on a un polinum c'est à dire une approximation 2° n eh bien on peut être certain que l'erreur que l'on fait et toujours plus petit que une certaine grandeur voilà pourquoi il est très intéressant d'arriver à borner l'erreur et donc on va continuer dans une prochaine vidéo