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Théorème des bornes atteintes

Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b] alors f est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes sur [a, b]. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

l'objectif de cette vidéo et de comprendre le théorème des bornes et je vais te laisser faire pause pour le lire une première fois il ya ici l'énoncé de ce théorème est maintenant on va décrypter ce que veut dire ce théorème on va le dire phrase par phrase et comprendre ce que ça raconte alors on te dit soit une fonction définie sur un intervalle ab qu'est ce que ça veut dire qu'une fonction est défini sur un intervalle ab alors ici j'ai mon axe daisy que c'est mon axe d y on te donne un intervalle fermé à baie et s'y est fait défini sur cet intervalle ça veut dire qu'elle doit prendre des valeurs partout entre a et b on n'a pas le droit par exemple de mettre une asymptote au milieu ou encore au bout parce que là ça voudrait dire que sur cette valeur en cette valeur c est en b la fonction n'est pas défini on n'a pas le droit par exemple de mettre un trou au milieu où la fonction n'est pas défini bien sûr et on n'a pas le droit d'avoir un intervalle ouvert par exemple au lieu ici d'avoir l'intervalle baie fermée d'avoir un intervalle b ouvert comme ça n'ont pas le droit pour que la fonction sera définie partout entre a et b eh bien il faut que f 2 x prennent une valeur pour tous les réels qu'il ya entre a et b et en a et on b inclus donc voilà ce que ça veut dire fonction f défini sur un intervalle ab ensuite on te dit que ai fait une fonction de réel et à valeur réelle ça veut dire que l'ex dx et l'accès y sont tous les deux des axes de valeur réelle assez classique ensuite on te dit que f et continue donc la deuxième critère pour que f soit soient bornés 1 et qu'elle a time ces bornes qui va être la conséquence de ceux de ces deux conditions donc défini et continue qu'est ce que veut dire que f et continue je vais te montrer une fonction qui est dit ce qui est défini mais discontinues tu vois que la jatte 1 ce point là et ensuite je lève le crayon et je continue ici donc ça c'est une fonction discontinuer par contre elle est définie par tous entre entre a et b donc j'ai bien respecté ce premier critère mais pas le deuxième hélas cette fonction admet une borne supérieure ici si cette valeur là s'appelle c est bien f2c c'est le maximum de cette fonction entre entre a et b mais par contre f n'admet pas de minimum sur cet intervalle elle tend vers un minimum ici mais elle n'est elle n'atteint pas ce minimum ok donc cette fonction est interdite également je dois avoir une fonction non seulement défini mais aussi continue je n'ai pas le droit de lever le crayon quand je dessine f et dans ce cas-là f et bornés et elle atteint ces bornes donc voilà une fonction qui respecte tous les critères elle commence par exemple ici ensuite je ne lève pas le crayon mais par contre j'ai le droit de faire des pointes si j'ai envie la fonction n'a pas besoin d'être dérive abl ça on ne l'a pas imposée et donc voilà voilà une fonction définie et continue partout sur sur ab on peut on peut en imaginer une infinité ici j'ai donné un exemple où j'ai une valeur ici dès que x peut prendre et une valeur c'est une autre valeur c'est que x peut prendre telles que la fonction est borné en bas par f2 c est en haut par fdd est ce que dit ce théorème sais quelle que soit la fonction que je dessine ici entre a et b je peux faire tout ce que je veux du moment que cette fonction est définie et continue entre entre a et b j'arriverai toujours à trouver un c'est au moins un une valeur c est une valeur des telles que la fonction est fait borné par f2 c et f de d c'est ce qu'on te dis ici f 2 x toutes les valeurs de f sont entre ses deux bornes ok derniers commentaires qu'on te fais c'est que a priori les valeurs de ces et 2d ne sont pas uniques bien sûr on peut atteindre plusieurs fois ce même maximum ou semaines minimum dans l'intervalle a et b et rien n'indique que ces soit inférieure ou supérieure à des effectivement on peut imaginer des cas farfelues comme celui ci où la fonction est constante entre a et b donc là en fait il ya une infinité de ces deux des possibles et c et d sont confondus en fait là la fonction est égal à cette valeur partout sur l'intervalle à 2 à b et elle est aussi borné en haut et en bas par cette même valeur voilà donc ça c'est un cas un peu un peu extrême de d'une fonction à étudier mais la plupart du temps voilà on aura une fonction qui va varier entre entre a et b d'une certaine manière et ce que nous dit le théorème des bornes et ben c'est que cette fonction est borné du moment qu'elle est indéfini et de continuer