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Approximation affine

. Créé par Sal Khan.

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  • leaf grey style l'avatar de l’utilisateur clairepaillotin
    Bonjour, je crois qu'il y a une erreur sur l'ordonnée du point d'abscisse 4+0.36
    Vous partez de 4 et non de 2
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Transcription de la vidéo

le but de cette vidéo c'est de te montrer la méthode d'approximations linéaire alors tu as tu remarqué que quand on a une fonction c'est parfois très difficile de calculer sa valeur en un point donné par exemple je pense que tu sais que c'est pas du tout facile de calculer comme ça une valeur approché de ce nombre la racine de 4,37 ce serait le cas aussi pour des tas d'autres fonctions par exemple avec la fonction exponentielle ougarit ou avec les fonctions trigonométriques il est parfois très difficile de calculer leur valeur en des points donnés alors ce qu'on va faire ici c'est ça on va trouver une méthode générale pour donner une valeur approché de certaines valeurs de fonction alors l'idée en fait je vais te l'a montré ici je vais tracer un bout de la courbe représentatif d'une fonction n'importe laquelle et disons que je cherche à déterminer lors données de ce point là donc la valeur de ma fonction en ce point là et que c'est une valeur qui est difficile à calculer alors rappelle toi ici j'ai pas dessiner la courbe en entier mais simplement un petit morceau au voisinage de ce point donc je cherche à calculer la valeur alors ce que je vais faire c'est essayer de trouver dans le voisinage de ce point là donc proche de ce point là un autre point dont je peux calculer facilement la valeur donc ici je vais appeler ce point là ça va être un point de coordonnées x 0 f 2 x 0 hu ce point là je veux dire qu'il a donc coordonnées x 0 + h et f 2 x 0 + h donc ce que je cherche n'oublions pas notre but c'est de terminer une valeur approché de f2 x 0 + h sachant que l'on peut facilement calculer f 2 x 0 alors comme je connais bien ce point là ce que je peux faire on parle entre autres ses traces et la tangente à la courbe en ce point là donc ça je vais le faire ici voilà et cette tangente je peux facilement déterminer l'équation je sais que son coefficient directeur cf primes de x 0 donc la distance entre les apps six de mes deux points c'est donc x 0 + hb - x 0 c'est-à-dire h ici et puisque je vais faire maintenant c'est considérer le point de la tangente qui a pour absence x 0 + hb donc c'est à dire je vais considérer ce point là voilà et donc ce point là en fait il a pour coordonnées x 0 + hb et puis une certaine valeur que je vais appeler f tilde 2 x 0 + h et bon j'appelle ça f steel 2 x 0 plus sage parce que tu vois bien que si les deux points sont suffisamment proches l'un de l'autre donc si je suis vraiment au voisinage de ce point d'abc 6 0 eh bien ces deux nombres l'aef style de 2 x 0 + h et f 2 x 0 + hb vont être très proches l'un de l'autre en fait ici j'ai un petit écart entre ces deux valeurs qui est que je représente ici donc c'est une erreur qui ce que je vais appeler epsilon donc tu vois l'idée c'est que si je me place au voisinage de x 0 donc 6 h est suffisamment petit et bien je vais pouvoir considérer que f 2 x 0 + hb qui est la valeur que je cherche à calculer va être à peu près égale af tilde 2 x 0 + h donc en fait la méthode d'approximations lunaire elle consiste à remplacer localement au voisinage du point 6 0 la courbe par une droite qui est la tangente au point d'abc 6 0 alors maintenant ce qu'il faut c'est qu'on arrive à trouver une expression de f steel 2 x 0 + hb et ça tout simplement on va le faire en considérant que la tangente ici est là pour coefficient directeur par définition f 2 x 0 f primes de x 0 pardon et donc et primes de x 0 c'est la pente de cette tangente donc c'est cette distance là qui est f tilde 2 x 0 + hb - f2 x 0 ça c'est la variations désordonnées entre ces deux points là et ça j'avais le diviser par la variation des abscisses donc c'est x 0 + hb - x 0 c'est-à-dire h voilà donc en travaillant cette équation l'a bien j'obtiens une expression de f steel 2 x 0 plus sage qui est celle ci f primes de x 0 x h + f 2 x 0 voilà donc ça c'est la formule d'approximations linéaire et l'idée c'est vraiment ça c'est que on se place au voisinage d'un point dont on sait calculer l'image par la fonction et on considère que f 2 x 0 + h correspond à peu près à leur donner du point correspondant sur la tangente voilà alors maintenant on va appliquer ça à ce cas là donc on va essayer de trouver une valeur approché de racine carrée de 4,37 par cette méthode d'approximations linéaire donc là je vais faire un petit dessin donc c'est une portion de la courbe représentatives de la fonction rassis carey y égale racines 2x genre décide une toute petite partie zoomer autour de ce point là donc ce point là il a pour abc ce 4,37 et pour ordonner racines de 4,37 voilà donc je vais essayer de trouver une valeur approché alors la première étape c'est de trouver un point voisin de celui ci donc au voisinage de 4,37 un point dont on peut calculer facilement la racine carrée donc là je pense que tu vas tout de suite pensé au point d'apsys 4-1 au point x égale 4 puisque racines de 4 c'est égal à 2 c'est très facile à calculer donc c'est ce que je vais faire en fait je vais me placer ici en ce point la dap 6-4 et donc d'ordonner racines de 4 qui est égal à 2 voilà et je vais tracé la tangente à la courbe en ce point et maintenant je vais considérer qu'une bonne valeur approché de racines de 4,37 est donné par leurs données de ce point là donc évidemment je fais une petite erreur ici epsilon alors plus tard dans ta carrière de mathématiciens tu verras qu'il ya des manières de majorer c'était cette erreur là on valeur absolue là on va pas parler de ça du tout pour l'instant on va juste appliqué donc pour se fixer les idées un ici c'est cette distance là c'est donc 4 37 - 4 c'est-à-dire 0,37 ça c'est notre h ici c'est ce hqe est là et ce point là il a pour coordonner 4,37 et puis lors donné qu'on calcule grâce à cette formule là f tilde de 4 37 ans va dire je vais l'écrire comme ça est hilde de 4,37 et donc ici ce que je peux faire c'est dire que racine carrée de 4,37 et bien ses racines carrées de 4 +0 37 ça c'est juste pour te montrer qu'ici on appris x 0 égal à 4 et achète égal à 0 37 et donc maintenant je peux trouver une valeur approché de ce nombre en utilisant cette formule là c'est donc f prime 2 4 fois 0,37 + f 2 x 0 kills donc ici est égal à 2 1 ses racines de 4 c'est à dire 2 voilà donc maintenant il faut qu'on calcule f prime de 4 alors la dérivée de la fonction racines de x c'est un sur deux fois racines 2x donc f prime de 4 est égal à 1 sur 2 x racines de 4 c'est à dire 1 sur 2 x 2 c'est-à-dire un quart donc finalement cette expression là elle est égale à un quart fois 0,37 plus de 1,4 fois 0,37 plus de je vais le calcul et la calculatrice donc 0,37 / 4 + 2 donc je trouve 2,09 125 2,09 125 ça c'est donc une valeur approché de racine carrée de 4,37 obtenu par approximation linéaire alors maintenant si je calcule racine carrée de 4,37 racine carrée de 4,37 je trouve 2 09 04 et ainsi de suite et si je veux calculer l'écart ici donc là l'erreur que je fais avec cette approximation là je peux calculer la différence entre cette valeur est celle que j'ai trouvé donc je vais faire ça cette valeur là - 2,09 125 et je trouve voilà en valeur absolue une erreur qui est un petit peu supérieure à 2 1000e donc tu vois qu'on obtient quand même une très bonne valeur approcher