Pour vérifier que vous avez bien compris et mémorisé.

Comment déterminer les extremums locaux d'une fonction ?

ff est une fonction définie sur un intervalle II et aIa∈ I. ff admet un maximum local sur II en aa signifie que f(a)f(a) est la plus grande valeur de la fonction ff sur II. On peut en déduire que ff est croissante pour les valeurs de xx inférieures à aa et décroissante pour les valeurs de xx supérieures à aa.
ff est une fonction définie sur un intervalle II et aIa∈ I. ff admet un minimum local sur II en aa signifie que f(a)f(a) est la plus petite valeur de la fonction ff sur II. On peut en déduire que ff est décroissante sur un intervalle [ah ;a][a-h~;a] et croissante sur un intervalle [a ;a+h][a~;a+h] avec h>0h>0.
Après la leçon qui fait le point sur le sens de variation d'une fonction il s'agit ici de vous permettre de vérifier si vous avez bien compris comment déterminer les extremums locaux d'une fonction.

Exemple

Soit la fonction ff définie par f(x)=x3+3x29x+7f(x)=x^3+3x^2-9x+7. Pour trouver ses extremums locaux, on commence par calculer sa dérivée :
f(x)=3(x+3)(x1)f'(x)=3(x+3)(x-1)
f(x)=(x3+3x29x+7)=(x3)+3(x2)9(x)+(7)=(3x2)+3(2x)9×1+0=3x2+6x9=3(x2+2x3)=3(x+3)(x1)\begin{aligned} f'(x)&=\operatorname{}(x^3+3x^2-9x+7)' \\\\ &=\operatorname{}(x^3)'+3\operatorname{}(x^2)'-9\operatorname{}(x)'+\operatorname{}(7)' \\\\ &=(3x^2)+3(2x)-9×1+0 \\\\ &=3x^2+6x-9 \\\\ &=3(x^2+2x-3) \\\\ &=3(x+3)(x-1) \end{aligned}
Les points à étudier sont 3-3 et 11.
Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de f(x)f'(x) pour connaître le signe de ff' sur l'intervalle.
IntervalleValeur de xxf(x)f'(x)Conclusion
x<3x<-3x=4x=-4f(4)=15>0f'(-4)=15>0ff est croissante. \nearrow
3<x<1-3<x<1x=0x=0f(0)=9<0f'(0)=-9<0ff est décroissante. \searrow
x>1x>1x=2x=2f(2)=15>0f'(2)=15>0ff est croissante. \nearrow
On en déduit ce tableau :
xxAvantAprèsConclusion
3-3\nearrow\searrowMaximum local
11\searrow\nearrowMinimum local
La fonction a un maximum en 3-3 et un minimum en 11.

À vous !

Exercice 1
hh est la fonction définie par h(x)=x3+3x2+9h(x)=-x^3+3 x^2+9
En quelle valeur de xx, la fonction hh admet-elle un maximum local ?
Réponse :
Réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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