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Calcul de la longueur de l'arc de la courbe représentative d'une fonction - exemple

Transcription de la vidéo

donc ici nous avons le graphe de la fonction y égale x à la puissance 3/2 est ce que je veux faire c'est calculer la longueur de l'arc de cette courbe qui part du point d'abc 6 égal zéro jusqu'au point d'absys je vais prendre un nombre un petit peu bizarre parce qu'ensuite les calculs ça arrange bien avec donc ne soient propres et impressionné je vais prendre 30 2 9e 32 neuvième alors on va placer 32 9e sur la vie des abscisses 32 3 x 9 27 89 36 32 c entre 3 39e c'est entre 3 et 4 un petit peu plus proche de 4 me semble-t-il on va le placer là et donc voila voila je suis en train de repasser le graff enfin la longueur de courbes de l'arc de courbes que je veux calculée entre eux x égal zéro et x égale 39e alors à la vidéo précédente on a vu une formule je t'encourage à mettre la vidéo en pause et essayer de et essayer de le faire par toi même en appliquant cette formule et ensuite tu pourra reprendre la vidéo vérifier ta réponse bon ben on va essayer de se rappeler de cette formule de la longueur de la rhk d'une courbe on va d'abord écrire la formule générale et ensuite on l'appliquera notre cas particulier donc la longueur de l'arc c'était une intégrale on additionnait des petits segments donc c'est l intégrale entre les deux bornes qu'on avait qu'on appelait qu'on va appeler a et b de la racine carrée 2 1 + f primes de x au carré des x voilà donc nous on a notre fonction fcx puissance trois demis et donc dans notre cas ça fera l'intégrale entre eux donc on a 10 0 et 32 neuvième de la racine carrée de un plus et là il faut que je mette f primes de x au carré donc je vais peut-être le calcul est à part pour que ce soit plus facile alors allons-y f2 ixe et xe puissance 3/2 f une 2 x on sait dérivés censés 3/2 il faut ax puissant saint denis et tu vas voir que ça va simplifier avec le 32 9e un petit peu un petit peu plus loin et c'est pour ça qu'on a pris 32 neuvième pour ça simplifie bien donc il ya qu'à continuer tu verras bien et donc nous on veut et primes de x élevée au carré donc on va élever tout le 30 ou le 3 2 mx puissances ennemies au carré et ça fait 3 neuf cars 2 x puissances ennemies élevée au carré ça fait juste x donc neuf cars 2 x donc je peux compléter mon intégral c'est l'intégrale de racine 2 1 + neuf cars 2 x dx bon on peut très bien on peut très bien quelle que liste intégrale telle qu'elle est là on peut trouver une primitif de cette fonction assez facile maintenant il se peut très bien tu t'embrouille un petit peu entre les nombres entre les calculs sur comment il faut multiplier comment il faut diviser donc si jamais c'est difficile pour toi de trouver tout de suite une primitif de cette fonction je t'encourage à faire un changement de variables et a appelé eu la fonction la fonction affine qui est à l'intérieur un plus neuf cars 2 x parce que c'est une fonction affine justement ça va rendre le changement de variables facile et ça va simplifier les choses et donc d u sur des x la dérive et de l'ue par rapport à x c'est juste le neuf car c'est le coefficient directeur ce que je peux écrire aussi en multipliant les deux côtés par des x des huées galles 9 gardes dx et si je veux exprimer dx en fonction des u alors ce sera l'un verse 1d x est égal à 4/9 2d eu simplement en multipliant par quatre 9e les deux côtés de cette égalité maintenant avant d'écrire l'intégrale il faut que le voit ce qui arrive aux bornes 0 en gros burns à la borne inférieure l'intégrale ça veut dire que x égal zéro et lorsque x égal 0 u est égal à combien lui est égal à 1 car plus un + 9 4 x 0 c'est-à-dire qu'il est égal jusqu'à 1 et lorsque x est égal à 30 2 9e alors qu est égal à 1 + 9 4 x 32 9e et ça ça simplifie bien c'est fait exprès je peux simplifiée par 9 et 32 / 4 ça fait 8 plus demain ça fait 9 donc le est égal à 9 lorsque x varie entre 0 et 30 de neuvième ului varie entre 1 et 9 et si je veut réécrire donc cette intégrale en termes de eu ce sera donc une intégrale entre 1 et 9 parce que cette fois je m'occupe des variations de une intégrale entre 1 et 9 de quoi déjà la racine carrée ce qu'ils avaient sous la racine carrée on l'appeler eu donc on va avoir la racine carrée de u et le dx on l'a marqué un petit peu plus bas le dx on va le transformer en 4 9e de déu leucate lequel 4/9 comme c'est une constante je peux le mettre devant l'intégrale en 4/9 de déu et voilà une intégrale qui me donnerait exactement le même résultat que la précédente la longueur de mon arc de courbes et qui est beaucoup plus facile à calculer parce que l'april une primitive de racines c'est facile à trouver donc 4 9e fois crochet je te rappelle que racine de us et puissances ennemies et donc qu'on l'ait racines saas intègre comme les fonctions puissance on augmente l'exposant de 20 ans a fait une puissance 3 demi et on divise par les trois demis autre monde où on multiplie par deux tiers linverse de trois demis et ceci est à évaluer entrevue égal 1 et u égal 9 alors bon tu sais comme on termine maintenant on fait la différence donc c'est 4/9 multiplié par deux tiers x 9 à la puissance 3/2 moins 2/3 fois hein ^ 3 demi alors allons-y 9 à la puissance 3/2 ces neuf à la puissance ennemie le tout à la puissance 3 c'est à dire ne fait la puissance 1/2 c 3 3 ^ 3 c 27 donc ce n'est fait la puissance 3/2 ses 27 et on a la puissance 3/2 c1 est donc j'ai deux tiers de 27 - 1 c'est donc 4 9e fois deux tiers de 27 - c'est-à-dire deux tiers de 28,2 26 qu'est ce que je raconte deux tiers de 27 - 1 ces deux tiers de 26 dont 4 9e fois deux tiers x 26 et ça malheureusement ça simplifiera pas plus donc on va écrire le résultat sous une forme de fractions en multipliant tous les numérateur et tous les dénominateurs donc quatre fois de 8 8 x 26 à leurs huit fois 20 s'affaisse a fait 168 fois ci ça fait quarante huit cent soixante +48 une fois 26 au numérateur sa tronche ça fait donc 208 à l' aider au dénominateur c'est plus facile on est 2 fois 3 ça fait 27 donc ses 208 27e voilà la longueur de mon arc de courbe il fait 208 27e unités de longueur de de mon repère