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Calcul de la longueur de l'arc de la courbe représentative d'une fonction - exemple 2

Transcription de la vidéo

bien alors nous voulons ici calculer la longueur d'un arc de courbe alors là ici on a tracé la courbe de la représentatives de la fonction f qui a x associe x cube sur 6 + 1 sur 2 x et on a déjà repéré la de cette couleur violette un arc de courbe entre le point d'accès 6 égal 1 et le point d'apsys x égal 2 et notre but c'est de calculer la longueur de cet arc de courbes avec la formule que l'on a a vu il ya quelques vidéos déjà sur les longueurs des arcs de courbe alors bon ben on va rappeler cette formule 1 la longueur d'un arc est donné par le calcul suivant l'intégrale entre les points extrêmes de cet arc entre a et b on va intégrer suivant suivant x suivant les abscisse de quoi de la racine carrée 2 1 + la dérive et au carré c'est à dire f primes de x au carré des x alors là on a la fonction il suffit de la mettre dans cette formule si tu veux tu peux mettre la vidéo en pause et essayer de devoir de le faire toi même il y aura un petit peu de travail avec des formule algébrique bien connu qui situe le fait te rendra les choses plus faciles et puis tu trouvera la réponse bons ballons si on a notre rêve de x et on a besoin de f primes de x plus dans l'intervalle donc on va dériver donc la dérive et 2f de x il a dérivé de x cube ces 3 x au carré 3 x o car est sûre si ça simplifie en x au carré sur deux et la dérive est de 1 sur x 1c moins un sur x carré donc ça c'est - à - 1 sur 2 x car et puisqu'on a le coefficient admis voilà dérivés de f/2 2 x et qu'est-ce qu'il faut que je fasse avec cette dérive est un faux je l'élève au carré et que je rajoute 1 on va le faire d'un coup on va calculer directement un plus f primes de x élevée au carré et c'est égal à quoi bon déjà c'est égal à un plus et fo élevée au carré cette expression et cette expression élevée au carré ça nous donne une identité remarquable de la forme à moins bo car équivaut à au carré - 2 ab plus bu au carré donc allons-y appliquons l'identité remarquable x carrés sur deux élevée au carré ça nous donne x puissance quatre sur quatre ensuite il ya le moins de l'identité remarquable et ensuite le double produit donc déjà les coefficients j'ai deux fois 1 nuit fois un mini sam faire un mini et les x gx puissance de sur x puissance 2 ça va se simplifier les x vont simplifier donc je vais rester avec le 1/2 tout seul plus main mais au carré c'est à dire le deuxième terme de la somme du dessus au carré 1 nuit de 1 sur 2 x carré aux gars et ça nous fait un sur 4 x puissance 4 voilà ce qu'on obtient pour un + f primes de x au carré qu'on peut simplifier légèrement en additionnant en calculant 1 - 1/2 1 - 1/2 ça fait plus admis donc ça nous donne x puissance 4 sur 4 + 1/2 + 1 sur 4 x puissance 4 et là il ya quelque chose d'intéressant à faire avec ça il ya quelque chose d'intéressant à faire en étant astucieux et observateurs alors qu'on parle dans cette ligne là ce que j'ai écrit en jaune dans cette ligne sur cette dernière ligne avec ce que j'ai écrit en jaune juste au dessus juste au dessus ce que j'ai écrit en jaune c'est presque la même chose qu'est-ce-qui qu'est ce qui change ainsi change qui a le plus à la place du moins c'est plus un demi à la place de moins un demi c'est à dire que sur la première ligne j'avais quelque chose de la forme à au carré - 2 ab plus mais au carré est sur la deuxième ligne j'ai quelque chose de la forme à au carré + b + 2 ab plus mais au carré et à au carré + 2 ab plus bo carré c'est une identité remarquable que je peux factoriser donc je vais factoriser cette identité remarquable c'est en quelque sorte la même que précédemment sauf qu'il ya un sauf qu'il ya un plus au lieu d'un - voilà et les mêmes causes produisant les mêmes effets 1 je sais que tout ce que j'ai marqué en jaune eu là c'est tout simplement égal à ixxo carrés sur 2 + 1 sur 2 x carré le tout au carré voilà c'est l'identité remarquable ces identités remarquables tu sais très bien comment passer de l'une à l'autre et agit la première j'ai développé la deuxième comme j'ai vu que ça ressemblait la bulle factoriser facilement et ça c'est très pratique parce que qu'est-ce qu'il faut qu'on encaisse qu'il faut qu'on en fasse du 1 + f primes de x au carré mais il faut qu'on en prenne la racine carrée et prendre la racine carrée de quelque chose qui est déjà mis au carré c'est facile la racine carrée 2 1 + f primes de x au carré eh ben ça vaut tous faut tout simplement supprimer la puissance 2 que j'ai obtenus et ça va tout simplement être x au carré sur 2 + 1/2 1 sur 2 x au carré voilà et là j'ai directement j'ai réussi à trouver une forme facile pour racine 2 1 + primes de x au carré 6/4 et sur 2 + 1 sur 2 x carré évidemment on a choisi les fonctions et les nombres pour que tout s'arrange bien et donc voilà ce que je vais mettre dans mon intégral voit la fonction que je vais mettre dans mon intégral qui est égal à toute cette racine carrée qui a souvent intégral place maintenant je peux écrire mon intégral et voir que ça va ce calcul est tout à fait normalement donc à quoi est égale la longueur de mon arc de cercle la longueur de mon arc de cercle est égal à l'intégrale pardon jédir deux cercles j'aurais pas dû c'est par un arc de cercle c'est un art de courbes donc à quoi est égale la longueur de mon arc de courbes et ben la longueur de mon arc de courbe est égal à l'intégrale entre les deux bornes entre 1 et 2 ici deux bains tout tout ce à quoi vous là tout ce à quoi est égale la racine c'est-à-dire de ce que j'ai trouvé de xo carré + 1 sur 2 x au carré des x et cette intégrale la cdu fonction là c'est une fonction qui s'intègrent comme une fonction puissance donc je n'ai pas de mal à en trouver une primitive donc là je sais que je vais finir le calcul dans quelques lignes assez facilement alors allons-y trouvons une primitive de ceux ci donc la primitive une primitif pour x car et on prend x cube sur trois donc x cube sur 3g avec le coefficient ennemis ça va me donner x cube sur six je vais avoir x cube sur six comme primitive ensuite sur un demi de x puissance moins de 1 sur 2 x puissance sur 2 x car et je peut l'intégrer comme un demi de xp sciences - 2 ou alors je peux reconnaître que moins un sur risque car et c'est la dérive et de la sueur x donc ça me donnait du 1 sur x il ya un signe - donc il faut avoir un moins et je vais avoir le 1/2 qui va rester donc ça va être moins 1 sur 2 x ceci est à prendre entre 1 et 2 donc voilà je mets des crochets entre 1 et 2 alors on va substituer de on va substituer un et on va terminer le calcul maintenant ça ne présente plus de difficultés donc substituant 2-1 6e fois deux puissances 3 donc de puissance 3 ça fait 8 donc ça me donne 8 6e - 1/2 fois deux puissances moins de puissance - 1 c'est encore un mythe ni foi ni samedi d'un quart à ceux ci je soustrais x puissant qu'en savoie donc x puissance 3 vaut un ex puissance moins en moins donc il reste un sixième mois et demi et voilà donc on va calculer cette somme de fractions déjà 8 6e - 6e ça fait 7/6 7/6 moins un quart attention au moins ça fait plus un demi donc on va tout mettre en quelle dénominateur commun je pense que des douzièmes ça va donc cette sixième ça fait 14 12e - car ça fait moins 3 12e plus admis ça fait plus si 12e donc 14 - 3 plus si ça fait dix-sept 12e à l'amont résultat final 17/12 et on se rappelle à quoi correspond ce 17/12 ce 17/12 c'était tout simplement la longueur de l'arc de courbe donc mon arc de courbes la haye mesure 17/12 unités de longueur simon unités sur l'abc c'est sur l'axé ordonné c'est le cm et bien ça fera 17/12 de centimètres et entre les deux centimètres si l'unité c'est autre chose et moi ce sera autre chose