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La longueur d'un arc de la courbe représentative d'une fonction

Transcription de la vidéo

donc on s'est servi de l'intégrale pour calculer désert et peut-être des volumes de solides de révolution maintenant j'aimerais me servir d'une intégrale pour trouver la longueur d'un arc qui se trouve sur la courbe représentatif d'une fonction comme ici donc si je prends deux points sur cette courbe on sait déjà calculer la longueur du segment droit qui va qui joue un ces deux points ça c'est pas un problème maintenant je voudrais calculer la longueur de l'arc curviligne ici qui épousent la le coc la courbe représentatif de cette fonction je voudrais calculer cette longueur là qui évidemment va être un petit peu plus longue que la longueur du segment sont des points qui ces six qui sont situées entre les apps 6 a et b alors quand est ce qu'on peut faire ça et parce qu'on a vu en intégration c'est que applique une intégrale c'est en fait refaire la somme de grandeur infiniment petit un conte a appelé des quelque chose suivant la variable que l'on a et on se dit que en fait on pourrait peut-être essayer de faire ça en considérant que notre courbe à la longueur de notre courbe qu'on cherche à déterminer c'est la somme de longueur de segments infiniment petit dont on va faire prendre la taille vers zéro donc voila un petit un petit segment comme ça là comme celui que je dessine là je vais peut-être pas faire si petit que ça pour pour te donner une idée de la démarche en fait l'idée c'est que ce segment a été de longues heures infiniment petit qu'on va appeler des des quelque chose dont on va dire ds comme segment voilà et si je rajoute d'autres segments a là un autre petit ds un petit peu plus loin et d'autres segments en fait tous ces petits segments infiniment petit a additionné les uns aux autres va me donner la longueur de l'arc curviligne que je cherche à calculer et donc sept longueurs on dit quand on some quand on fait la somme de petits segments infiniment petit condom ont fait tant de la taxe versée robin c'est une intégrale une intégrale de ces petits de ces petits dés est cela qui sent la longueur des segments infiniment petit alors le problème c'est que il faut y mettre des bornes à l'intégrale et quelle borne on pourrait bien y mettre on aimerait bien mettre les bornes a et b1 m intégral entre a et b de ds mais seulement on peut pas si on fait ça c'est faux et pourquoi ces faux de mettre les bornes a et b à cette intégrale parce que qu'est-ce qui varient entre a et b est ce que c est ce la longueur d'un segment qui varient entre a et b non ce qui varie entre a et b c x a et b sont sur l'axé des abscisses un cx qui varient entre a et b donc je peux mettre un intégral je veux mettre les bornes a et b hamon intégral si j'ai une intégrale en fonction de dx pas en fonction de ds ainsi sont les longues heures sur l'axé des abscisses que je fais variés pas les longueurs sur ma courbe donc là je suis un petit peu cuincy j'aimerais bien le but donc ça va être d'exprimer cette intégrale ou je sais pas quoi mettre à la place des bornes en fonction de dx donc de transformer mon ds pour savoir quelles fonctions c'est de dx donc comment on va faire bastille requin un petit segment ds comme ceux ci il a une composante horizontale une composante verticale en autrement dit c'est un petit peu comme on a trouvé la formule de la distance entre deux points dans un repère un c'est un décalage horizontal et un décalage verticale c'est à dire qu'on peut c'est en quelques sortes l'hypoténuse d'un tout petit triangle rectangle a donc ce petit triangle rectangle on revoit reprise représenté comme ceux ci la le décalage horizontale qu'on va appeler dx ça tombe bien et le décalage verticale pour l'instant on va l'appeler d y kane dsc l'hypoténuse de ce petit triangle l'a10 entre dx et des y alors quand on a des triangles rectangles et condamné longueur de côté des hypothèses usap on en pense on pense au théorème de pythagore et le théorème de pythagore donval écrire un théorème de pythagore nous dit que ds au carré est égal à dx au carré plus désiré plus d y au carré et si je veux dr ds c'est donc comme c'est quelque chose de positif c'est la longueur d'un petit segment donc c'est positif ds c'est donc je peux en prendre la racine carrée c'est la racine carrée de dxo carré plus d y au carré bon ça ça m'avance pas à grand chose je peux pas écrire je peux pas raisonnablement de calculer une intégrale avec ça à l'intérieur pour plein de raisons et donc j'aimerais avoir une intégrale avec une fonction x dx est pas des grecs à l'intérieur donc pour faire ça la petite astuce c'est qu'on va factoriser le dx au carré dans la somme qui est sous la racine on va factoriser le dx au carré et ça ça va nous permettre de nous en tirer bat déjà parce que ça va faire sortir un des x de la racine et je vais bien avoir quelque chose x dx mais en plus parce que ce qui est sous la racine va s'arranger donc voilà faisons le tu vas voir ça tout de suite donc ses racines de dxo carré x factor risqués ce qui reste un peu plus d y sur dx le tout au carré et là on se rappelle que d y sur des x et un champ qu'est ce que c'est que ce d y sur dx la fraction des grecs sur x des xkrs et dans le carré d'or c'est quelque chose qu'on connaît qu'on a déjà vu c'est un changement élémentaire de y sur un changement élémentaire 2 x est exactement la dérive et la dérivée de la fonction c'est la dérive et de la fonction y saute endroits autrement dit la dérivée de la fonction af 2x et ça ça va bien nous servir déjà le dx au carré on le sort de la racine donc ça c'est la racine c'est la racine carrée de race est la racine carrée 2 1 + des grecs sur dxo carré x le dx hors de la racine ça ressemble plus à un truc qu'on aime bien intégré ça et notes d y sur des x et ben on va dire que c'est prime de lixin d y sur des ics ça veut dire la dérive et de y par rapport à x ça veut donc dire f primes de x et la même chose donc ça je peux le réécrire sous la forme racines 2 1 + f primes de x au carré des x et voilà j'ai gagné 1 j'ai exprimé ma longueur de mon arc en fonction comme une fonction fois dx la longueur élémentaire ds je les ai exprimé comme une fonction fois dx est donc monde et la hd ça je peux intégrer ça entre a et b et ça me donnera bien la longueur de mon art parce que c'est bien une intégrale en termes de dx donc l'intégrale entre a et b 2 1 + f carré et spring carré de xd x ah c'est ça la formule qui va me donner la longueur de mon arc de cercle c'est pas à une démonstration henry très très rigoureuse mais ça te permet de comprendre au moins j'espère pourquoi pourquoi l'intégrale curviligne c'est à dire la fonction intégral qui te donne la longueur d'une d'un arc de courbes et sous cette forme là