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Méthode des tubes pour une rotation autour une droite verticale

Introduction à la méthode de la coquille pour des rotations suivant une droite verticale. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

alors j'ai ici tracé dans le dessein de gauche le graphe de la fonction y est alex moins trois quarts et x x - 1 est ce que je veux faire c'est faire tourner l'air sous la courbe que j'ai assuré que j'ai assuré la faire pivoter autour de l'axé des ordonnées ses terres sous la courbe qui commença on voit bien que l'intersection avec l'axé des abscisses là où commence et où finit l'air cx égal 1 eric segal 3 ça se voit facilement sur le dans l'expression de la fonction et quand je fait pivoter vers sous la courbe est bien j'obtiens ce dessin qui est à droite là cette espèce de curieuse forme qui est à droite et je veux calculer le volume de cette forme là bon alors comment est ce qu'on va faire on se dit mais on a déjà calculé des volumes comme ça on définit des petits c'est en fonction de la kz2 y donc on va définir des petite couronne et élémentaires qu'on va faire tourner autour de la kz2 y on va calculer le volume de chaque couronne alors là aussi on fait ça on va avoir un problème parce que pour calculer volume de chaque couronne il faut exprimer x en fonction d'eux y il faut écrire x égale quelque chose avec y est avec une telle expression de fonction eh bien on n'arrivera pas à exprimer qui sont fonction des deux y parce que l'on tait ses dents n'est pas unique ce n'est pas ce n'est pas une fonction digestive c'est pas une direction donc on n'arrivera pas à retourner la fonction et a trouvé une réciproque pour exprimer x en fonction d'eux y donc on va procéder autrement va rester en fonction de x et on je vais construire ce petit rectangle élémentaire la directon l'élémentaire que je construis que je reproduis aussi sur le dessin de droite ce petit rectangle élémentaires qui va avoir une largeur de dx je vais le faire lui tourner autour de l' axe d y est je vais voir ce que ça me donnait donc je vais essayer de tracer sa aussi précisément que possible en fait voilà quand je fais tourner ça autour de l'axé des ordonnées ben ça me donne une espèce de bagues à une toute petite couronne très fine une couronne très fine très fine parce que l'épaisseur de la couronne la différence entre le grand rayon et le petit rayon c'est notre différence élémentaire dx monde et x cette fois ils se retrouvent pas dans l'épaisseur de la couronne comme ce qu on a fait autrement comme ce qu'on avait fait avant mais il se retrouve dans la différence entre le grand rayon et le petit rayon mais ça fait rien parce que je m'aperçois que ma forme dont je cherche à calculer volume peut être aussi décomposé en volume de petites bagues en quelque sorte on pourrait appeler ça des bagues de petites de petits anneaux comme celui ci patron me servir du terme à nos parce que anneaux des signes autre chose en mathématiques de petites bagues comme celle ci on va dire et donc si on arrive à calculer le volume de ces petites bagues est là et bien on pourra faire la somme de ses volumes donc écrire une intégrale qui ne calculera notre volume du solide de révolution et pour calculer le volume est bien chevet calculer et l'enveloppent extérieur la l'air de l'enveloppé extérieure de cette bague et l'air de l' enveloppe extérieure de cette bague dépend de sa circonférence de la circonférence de cette bague une circonférence d'un cercle ces deux fois pie x rayons et quelle est notre rayon un autre rayon c'est la distance entre lax désordonnée et mon petit rectangle et me morais moreillon ces deux pierres c'est donc deux pie x puisque mon restantes se trouve est censé se trouver à l'ap 6x donc ma circonférence même la circonférence de ma bague le périmètre en quelque sorte de la base de ma bague ces deux pics x x et la hauteur de cette bague cf de xc la hauteur de mon rectangle tu peux le voir sur des saints la hauteur cf 2x et quand je multiplie la circonférence par la hauteur j'ai ce que j'avais dit tout à l'heure j'obtiens quoi j'obtiens l'air de l' enveloppe extérieure de ma bague d'oncle enveloppe extérieure de ma bague 20 l'enveloppent qu'extérieurs d'un prisme en général c'est la circonférence et le périmètre de la base fois la hauteur et on sait exactement ce que je fais et l'air de mon enveloppe extérieure là ça va être deux pics fois f 2 x 1 parce qu'elle faisait hic c'est bien la hauteur de ma bague et dans notre cas d'espèce la monf de ixe et xe - 3 au carré faux ex moisins donc ici l'enveloppé extérieure va avoir pour r 2 p x x x - 3 au carré x x -1 et le volume le volume cette fois le petit volume élémentaires qu'on veut additionnés tu te rappelles les petits volumes élémentaires qu'on va additionner le volume de ma bad va être donné par les parle enveloppe extérieure x l'épaisseur alors donc ça va être deux pics f 2 x x notre petite épaisseur élémentaire de dx pourquoi c'est le cas parce que tu peut par exemple imaginer qu'on coupe cette bague et qu'on les tentes pour faire un pour faire un parallélépipède rectangle il ça aura exactement le même volume et tu te doutes bien que le volume ce sera la surface extérieure x la hauteur de dx donc on retrouve bien le volume de cette bague avec deux pays que celle de x x 2 x et le volume de notre solide de révolution c'est la somme donc c'est l'intégrale de ses volumes de bac 2 2 p x f 2 x x dx donc c'est l'intégrale de 1 à 3 ans bien que nos bornes d'intégration sont à l'étroit comme on l'a dit tout à l'heure le deux piges peut le sortir de l'intégrale est à l'intérieur de l'intégrale il me reste f2 xx x d'abord qui restait fois f 2 x qui est x - 3 au carré faux x moins 1 fois notre dx et voilà on a réussi à écrire une intégrale qui me calcule le volume de ce solide de révolution si prenant un peu autrement et dans la vidéo suivante qui nous restera plus qu'à calculer cette intégrale