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Méthode des couronnes pour une rotation autour de l'axe des abscisses

Calculer le volume d'un solide de révolution qui est défini entre deux fonctions. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

deux graphes et ainsi définir un solide de réveil de révolution qui serait égale 1-1 qui serait créé un petit peu la forme d'un demi ballon de rugby dans lequel on aurait creusé un cône a donc je vais faire je vais essayer de dessiner ça le mieux possible on fait ce qu'on peut qu'est donc voilà pour l'autre partie de ce qu'on obtiendrait en faisant tourner donc l'espèce de demi ballon de rugby j'essaye la de le mater de le matérialiser en relief avec ol à la tranche qui serait comme ceci est en forme comme ça et ça ce serait donc la base la tranche de cette drôle de forme je tenais sombre pour donner une petite impression de relief mais on veut pas l'espace entier à l'intérieur du ballon de rugby on veut pas le volume entier on veut retirer un inconnu un cône que je matérialise comme ceux ci on veut le retirer pour n'obtenir que que le l'espèce des espaces qui reste entre les deux ex as ça on fait donc tourner tout ça autour de l'axé des abscisses comme je l'indiqué sur les flèches que je suis en train de tracer et donc cette curieuse forme qu'on va obtenir quel va être son feu volume jeu hachures donc la partie qu'on fait tourner autour de l'axé des abscisses et on va faire comme d'habitude on va essayer de diviser ce volume entrant élémentaire alors si je m'occupe pas du cône qui est à l'intérieur du cône que l'on retire et que je prends que le volume voilà d'une tranche de ballon de rugby en quelque sorte qu'est-ce que j'obtiendrais parce que l'idée ça va être voilà dire que ce volume que cherche à calculer il est constitué du demi ballon de rugby du volume du demi - landes rugby que je sais calculé - le volume du cône que je sait calculer donc je vais le jouer essayer de matérialiser sa sur ce dessin pour calculer le volume du demi ballon de rugby je peux utiliser la méthode de sommation des cylindres qu'on a vus aux vidéos précédentes voilà je vais dessiner par exemple ici un petit cylindre élémentaire voilà je le dessine pour qu'on puisse bien le voir et ce petit cylindre élémentaire va avoir une une largeur infinitésimale élimant élémentaires qu'on va appeler dx j'espère qu'on commence un petit peu à s'y habituer et le volume de ceux de cette espèce de demi ballon de rugby va avoir va être donc la somme des volumes de ces petits cylindres élémentaire et petit cylindre d'élémentaire se joue à multiplier des x par pie x rayons au carré à et pie x rayon carême à le rayon c'est la fonction qui décide qui délimite le ballon de rugby stade i racines de x donc ça c'est le volume d'un petit cylindre élémentaires qui aident à définir en fait le ballon de rugby et maintenant je me dis que de ce ballon de rugby je veux creuser je veux retirer un cône donc donc je calcule le volume du ballon de rugby en en additionnant les volumes de deux cylindres et en faisant entendre la largeur de ses volumes vers zéro et donc j'obtiens intégral là je dois prendre l'intégrale de pi racines de x au carré des x ou y tient là je m'aperçois qu'ils nous manquent les bornes d'internet d'intégration eh ben les bandes d'intégration à faire une petite pause on va les trouver les bornes d'intégration mais ce sont comme on le voit sur le graphe les nombres pour lesquels les nombreux x pour lesquels x est égal à racine carrée de x donc il suffit de résoudre cette équation pour les trouver donc si chi x égale racine carrée de x ont pleuré de cette équation en élevant les deux membres au carré ensuite faudra vérifier les solutions ça d'onyx au carré et gallix donc intuitivement ici x au carré égale x1 on peut se rendre compte que les solutions sont 0 et 1 ça c'est une équation qui est assez simple pour que l'on devine les solutions un coquard égal 0 et au carré égal 1 à 0 au quart égal 0 et 1 ou car égale un pardon et on aurait pu de même deviner ses solutions d'après l'équation avec la racine mais si on veut on peut factoriser x carré - x égal zéro x factor 2x moins égale zéro et d'après le reste du produit nielsen d'onyx égal zéro et x - ou x moins égale zéro a dit rick sagal 0 ou x égal 1 et en remplaçant dans l'équation originel parce que quand on a levé haut car il faut remplacer dans l'équation originel on se rend compte que ça vérifie bien l'équation donc nos bornes d'intégration de venir on s'attendait à en trouver deux sont 0 ou 1 donc mon intégral va être l'intégrale entre 0 et 1 de pie x racine carrée 2x au carré des x et ça c'est le volume du demi ballon de rugby mais ça n'est pas terminé il faut que je les dis déjà plusieurs fois retiré le volume du cône donc je retire jamais un signe - le volume du cône va être de la même manière intégrale de 0 à 1 2 maintenant comment on fait bander fini un petit disque élémentaire autour du cône a que je dessine ici d'une autre couleur un petit peu plus loin et voilà s voilà un petit disque élémentaires qui va former avec ses d'autres disques élémentaire le volume du cône que je dois retirer l'air de ce petit disque élémentaire c'est pie x rayons au carré dans ce cas là le rayon c'est x et pour avoir le volume du petit cylindre élémentaire je multiplie par une largeur élémentaire de dx à que je vais je mets sur le dessin pour que ça se voit mieux et voilà donc je multiplie sa part des ics ça nous fait des petits cylindres collés les uns aux autres qui sont des la forme qui ont la forme de petites pièces de monnaie de tailles différentes et donc voilà tout ce calcul là ça va être la première intégralement un deuxième intégral ça va nous donner le volume de l'espace qui nous restent après qu'on a retiré le cône du petit ballon de rugby on va on va le calcul est comme ça et puis dans la vidéo suivante lui donner une méthode pour généraliser ça donc on peut sortir le pis de l'intégrale ça fait pie x intégrale de 0,1 2 x 2 x - on a dit qu'on sortait le pis de l'intégrale fois l'intégrale de 0 à 1 2x au carré des x et ce sont des intégrales qu'on calcule facilement parce qu'on sait trouver les primitifs de ses fonctions simples c'est pourquoi on a pris une primitif 2 x on va prendre xo carrés sur deux comme d'habitude à prendre entre 0 et 1 - pie x primitif de xo caresser x cube sur trois à apprendre de la même manière entre 0 et 1 cas il nous reste plus qu'à terminer le calcul mécaniquement comme on fait d'habitude donc pie x je fais la différence et au carré sur 2 - 0 au carré sur deux jeux détails vraiment tout pour que ce soit bien clair - pie x alors tout ça c'est un au cube sur 3 - 0 occupe sur trois oui beaucoup de choses qui s'annulent ça va pas être très très dur de calculer ça ben ça nous donne pie x tout ce qui a des 0 est égal à zéro là donc un au carré sur deux ça fait un demi donc c'est juste de piste sur deux est pour les pour la suite du calcul tout ce qui est à zéro ça s'annule et seppi fois un tiers dont 10 sur trois et ainsi de suite une souche une affaire de soustraction de fractions calcul épi sur deux - pis sur trois on trouve le dénominateur commun qui n'est pas dur à trouver ses 6 et puis sur deux ces trois pays sur six et pis sur trois a appuyé sur trois c'est la même chose que deux fissures 6 donc ces trois pays - de pi sursis c'est quand on a 3 puis on retire depuis nous reste qu'un seul pays le résultat va donc nous donner un seul pays c'est à dire pis sur six et voilà le volume de cette formes bizarroïdes qui correspond à un demi ballon de rugby - auquel auquel on a retiré un cône