If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Intégrer le produit d'une fonction par une constante

On donne une interprétation graphique de la règle qui permet de sortir les constantes multiplicatives du signe de l'intégrale.

Transcription de la vidéo

alors ici j'ai tracé la courbe représentatif d'une certaine fonction donc c'est la courbe d'équations y égale f 2 x et puis en jaune ici j'ai assuré la partie du plan qui est comprise entre la courbe de notre fonction l'axé des abscisses et les droites de l'équation x égal à eric segal p est ce qu'on sait c'est que cette terre est bien on peut l'exprimer comme une intégrale c'est l'intégrale d'entre eux a et b de la fonction fdx dx alors ce que je voudrais faire dans cette vidéo c'est explorer un petit peu ce qui se passe quand on multiplie notre fonction par une constante donc ce que je vais faire ici c'est regarder une courbe d'équations y égale un certain nombre c'est fois f 2 x donc c est un nombre réel si une constante est ce qu'on va essayer de faire c'est de voir ce qui se passe quand on intègre cette fonction et plus précisément comment est-ce que l'intégrale de cette fonction va pouvoir être relié à l'intégrale de notre fonction f alors ici évidemment je traite du cas général donc c'est peut-être n'importe quel nombre réel je vais le prendre quand même nom nul puisque si le nombre c'est égal à zéro ça plus tellement d'intérêt mais pour notre exercice ici je vais quand même pour fixer les idées on va supposer dans le dessein que c'est par exemple est égal à 3 ce qui veut dire que l'image de notre deuxième fonction de cette fonction là pour x égal 0 bien c'est trois fois cette distance là donc je vais pouvoir le mettre alors une fois c'est ici deux fois celle à trois fois c'est là donc cette courbe là va passer par ce point qui est ici et puis je vais placer l'image de a donc f2 asselah deux f de asselah et 3 f 2 à 7 ici donc la courbe va passer par ce point là je vais placer un autre point ici disons donc une fois deux fois trois fois la cour va passer par ce point là ensuite je vais prendre disons ce point là ici alors une fois deux fois trois fois elle va passer par ce point et puis enfin je vais prendre la valeur b donc une fois c'est ici deux fois c'est à peu près là et trois fois c'est à peu près la plaque au va passer par ce point là je peux même dessiné un troisième point disons ici voilà donc une fois c'est là deux fois c'est là et trois fois c'est là voilà donc elles passent par ce point là donc ma courbe elle va avoir à peu près cette allure là elle passe par ce point voilà ensuite elle redescend elle remonte et puis elle va voilà à peu près comme ça voilà donc la courbe d'équations y égale cf 2 x elle ressemble à quelque chose comme ça et ce qui va nous intéresser ici c'est l'ère de la partie du plan qui est comprise sous la courbe entre ces deux droites là et l'axé des abscisses bien sûr c'est donc toute cette partie là qui va nous intéresser voilà que je hachures maintenant en verre alors il ya une chose qui est sûre c'est que l'air que je viens d'assurer envers donc toutes ces terres là et bien je peux l'exprimer comme l'intégrale entre a et b de cette fonction cf2 x dx voilà ça c'est une expression de cette heure là est la question qu'on se pose ici que c'est comment est-ce qu'on peut relier cette intégrale à celle ci autrement dit comment est ce qu'on peut relier l'air de cette partie du plan qui assurait en verre à l'ère de la partie que j'avais assuré en jaune tout à l'heure alors on peut réfléchir déjà avec un rectangle je vais prendre un rectangle voilà et je vais appeler cette première dimension là disons que je vais l'appeler alpha et celle ci je l'appelle bêta donc évidemment l'air de ce rectangle c'est alpha x betar le produit des deux dimensions et maintenant ce que je vais faire c'est exactement comme on m'a fait ici multiplier une des dimensions par notre nombre c'est qui est ici donc en fait je vais me retrouver avec un autre rectangle qui va avoir exactement la même largeur bêta voilà donc ici la largeur ces bêtas et la hauteur cc fois alpha et donc maintenant je peux calculer la leyre de ce rectangle et bien cesser fois alfa beta c'est fois alpha x bêta et donc ce qu'on peut voir ici c'est quand on multiplie une des dimensions par un certain nombre c'est ici et bien en fait l'air du rectangle et multiplié aussi parce nombreux c'est alors 200 en fait on peut en déduire que l'ère de la partie du plan que j'ai assuré en verre et bien cesser fois l'air de la partie du plan que j'ai assuré en jaune ici je vais peut-être un petit peu vite peut-être que tu te dis mais oui mais là on a parlé uniquement de rectangles ce qu'on a ici c'est pas du tout un rectangle donc ça te paraît peut-être un peu une conclusion un petit peu hâtive mais en fait il faut se rappeler qu'on a défini les intégrales comme étant en fait des sommes de riemann et ce sont des sommes de rectangle alors je vais en dessiner un pour qu'on voie un petit peu mieux ce qui se passe disons que j'ai un rectangle ici voilà qui est sous ma courbe y égaler f 2 x avec une largeur d x et donc quand on calcule l'ère de la partie en jaune ici bien en fait on fait une somme d'une infinité de petits rectangles comme celui là si je veux maintenant calculé l'ère de la partie verte donc qui est comprise sous cette courbe orange eh bien je vais prendre un rectangle ici comme ça de même largeur dx ici comme ça et donc ce qu'on a dit c'est que cette hauteur là la hauteur de ce rectangle et bien cesser fois la hauteur du petit rectangle que j'avais dessiné tout à l'heure ici donc d'après ce qu'on vient de voir ce rectangle vert il a une ère qui essaient fois le l'air de ce rectangle là et content sommes tous nos rectangle et bien le facteur c va apparaître donc finalement la règle à laquelle voulait qu'on aboutisse dans cette vidéo c'est pas du tout une preuve rigoureuse qu'on vient de faire il faudrait le faire en utilisant la définition d'intégrale et ainsi de suite mais ici ce qu'on vient de voir c'est que quand je calcul intégral entre a et b d'une certaine fonction f donc f2 xd x x une constante c'est n'importe laquelle un nombre réel non nul qui est celui ci et bien dans ce cas là ce qu'on obtient c'est la constante c'est x l'intégrale entre a et b de la fonction f 2 x dx la donc tu peux le voir comme ça en fait le nombre c'est la constante c'est peut sortir du sind intégral et donc on calcul intégral entrera et b2f 2 x 2 x et on multiplie par c'est donc ça c'est la règle très importante à laquelle je voulais qu'on aboutisse dans cette vidéo là encore une fois c'est pas du tout une preuve rigoureuse convient de faire mais tu verras que c'est une règle très très utile qui va nous permettre de calculer beaucoup plus facilement des intégrales dans de très nombreux cas