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Intégrale définie d'une fonction définie par morceaux

On calcule l'intégrale d'une fonction définie par morceaux sur un intervalle qui est à cheval sur les deux branches de la fonction.

Transcription de la vidéo

alors on nous donne ici une fonction définie sur air paref 2x égal alors c'est une fonction définie par morceau si x est strictement négatif à leur rêve de x et x + 1 et pour les valeurs de x supérieur ou égal à 0 f 2 x est égal à caussinus de pie x est ce qu'on nous demande c'est de calculer la valeur de cette intégrale l'intégrale de -1 1 2 f 2 x dx alors ce qui peut être un peu perturbant ici je pense c'est qu'on nous demande de calcul et l'intégrale de cette fonction f entre -1 et 1 mais la fonction est fait les définit de deux manières différentes selon où on se place donc c'est pas évident de voir ce qu'il faut mettre ici est ce que on doit mettre à la place de f2 x x + 1 ou caussinus pie x en fait ce qu'il faut comprendre c'est que il ya une valeur frontières qui est zéro ici qui sépare deux portions de ma courbe une première portion pour les valeurs négatives strictement qui est celle ci est en fait je vais me servir de cette valeur frontière donc x égal zéro pour découper mon intégral alors cette intégrale là je vais l'écrire comme ça en utilisant la relation de chasles de celle intégral entre -1 et 0 2 - 1 0 de f2 x dx plus l'intégrale de 0 à 1 de fgx dx c'est la relation de chasles j'ai tout à fait le droit de faire ça mais ce qui est intéressant c'est que maintenant dans cette intégrale à je suis entre -0 donc je suis sur cette portion ici donc f 2 x dans ce cas là c'est x + 1 donc je dois calculé dans cette portion la l'intégrale de - 1 à 0 2x plus 1d x et puis ici j'ai l'intégrale de 0 à 1 de f2 xtx et donc je suis entre 0 et 1 c'est à dire que je suis sur cette portion la de la courbe donc ici f de xc caussinus pie x réflexe à avoir quand tu doit calculer l'intégrale d'une fonction définie par morceau la première chose c'est de découper l'intégrale pour avoir deux intégrales qui sont chacune sur une portion de la courbe donc maintenant il faut que je calcule cette intégrale là alors je vais le faire ici l'intégrale entre -1 et 0 2x plus un dx donc ça ça revient à déterminer primitive de x + 1 et calculer sa valeur entre -1 et zéro donc calculer la valeur à zéro et soustraire la valeur en moins 1 alors une primitive 2x plus un c'est une primitif 2 x plus une primitif 2 1 une primitive de xc x au carré sur deux rappelle-toi j'augmente ici c'est comme si j'avais x puissance 1 c'est une fonction puissance et pour trouver une primitive j'augmente l'exposant de humilité donc ici j'ai donc x au carré et je dois / le nouvel exposant qui est ici deux voilà et puis pour la deuxième partie une primitif 2 1 et bien c'est x voilà ça je pense que tu t'en souviens et si tu t'en souviens pas au pire tu peux considérer que ça c'est x puissance 0 et donc utiliser la même règle que ce que je viens de dire on augmente les exposants de une unité dont compass 2 x puissance 0 ax puissance 1 est ici et on divise par un voilà en fait c'est ça et x puissance 1 / 1 je peux l'écrire quand même tout simplement comme ça voilà alors ça je vais le calcul est alors d'abord la valeur en 0 donc c'est zéro au carré sur 2 + 0 stoke 0 pardon et puis ensuite je dois soustraire la valeur en moins 1 de cette primitive donc ça va me donner - alors j'ai moins un au carré sur deux plus moins 20 voilà donc là j'ai presque terminé ici j'ai zéro car et ça fait zéro plus zéro ça fait zéro donc ce terme là ça nul ici - aux caresses a fait un donc j'ai un demi plus - 1 1/2 plus - 1 ça fait 1 2 me -1 et donc ce que j'ai ici finalement c'est moins alors entre parenthèses 1/2 - 1 1/2 - ans a fait un demi -2 2 me donc ça fait moins un demi j'enlève ça comme ça donc j'ai moins - 1/2 et ça ça fait un demi voilà donc ça c'est cette intégrale là ici celle là elle vaut un demi et de l'autre partie de l'autre intégral qui est ici c'est à dire l'intégrale 2 011 de cosinus pie x dx je peux mettre des parenthèses si tu veux voilà donc il faut qu'on trouve maintenant une primitive de cosinus pie x alors ce qu'on sait c'est que la dérive et de cygnus x et bien c'est caussinus x ce qui veut dire quand on lit à l'envers qu'une primitif de cosinus xc cygnus x alors ici c'est pas tout à fait ce qu'on a parce qu'on m'a non pas caussinus 2 x mais caussinus de pie x ce qui veut dire que ici à priori il va y avoir des coefficients alors il faut arriver à les déterminer est ce que je vais faire pour ça c'est partir quand même de cette expression là je sais que la dérive et de cygnus x etc aussi du 6 et je vais recalculer la dérive et de sinus pie x alors ça je vais le faire en utilisant la règle de dérivation des fonctions de composer donc je vais avoir la dérive et de pie x qui épie x leurs dérivés de cygnus x calculé en pie x donc la dérive et de cygnus x on a dit que c'était caussinus x et cette fois ci je la calcule non pas en x mais en pie x donc ça veut dire que la primitive de pie x caussinus pxc sinus pie x malheureusement c'est pas tout à fait ce que j'ai ici mais je peux quand même marrant j'ai ce que je vais faire c'est mettre un pays si je vais multiplier par pie xi a évidemment pour ne pas changer la fonction que j'intègre il faut que je divise aussi par pire donc je vais divisé ici par pie ce qui veut dire que là en fait j'ai multiplié par pie et / pis donc j'ai rien changé donc ça ça marche et du coup ce qui est intéressant c'est que j'ai une primitive de cette fonction là d'une primitif de pie x caussinus pie x ses sinus pie x donc finalement je vais pouvoir écrire ça comme ça alors j'ai le 1 sur pie qu'il faut pas oublier un sur pie x alors ici je dois prendre la primitive de pique aux sinus pie x qui est donc sinus pie x sinus pie x calculée entre 0 et 1 alors je vais faire ce calcul donc j'ai un sur pie x alors la valeur de sinus pie x pour x égal 1 ses sinus pis - la valeur de sinus pics pour x égal zéro donc ses sinus de pie x 0 c'est-à-dire sinus 2 0 voilà est ici sinus peas est égal à 0 et 6 0 c'est égal à zéro aussi donc finalement on a un sur pie x 0 - 0 c'est-à-dire un sur pie x 0 et donc ça fait zéro voilà donc cette intégrale là elle est égale à zéro et donc on a terminé puisque l'intégrale de -1 1 2 f 2 x 2 x eh bien elle est égal à 1,2 me + 0 c'est-à-dire un demi voilà à bientôt