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Analyse

Cours : Analyse > Chapitre 4 

Leçon 15: Appliquer le théorème fondamental du calcul intégral
Mathématiques
Analyse
Intégration
Appliquer le théorème fondamental du calcul intégral
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Le théorème fondamental de l'analyse

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Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

Le théorème fondamental du calcul intégral

Rappel du théorème et de son corollaire.

Théorème : Si F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, alors F, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis

Si f est une fonction continue sur un intervalle open bracket, a, space, ;, b, close bracket, on appelle F la fonction qui à tout x ∈ open bracket, a, space, ;, b, close bracket fait correspondre l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses sur l'intervalle open bracket, a, space, ;, x, close bracket :
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t
Le théorème établit que la dérivée deF est f, autrement dit que F est une primitive de f. Donc, il établit que la dérivation et l'intégration, sont réciproques l'une de l'autre et que pour calculer une aire sous la courbe représentative d'une fonction, on peut utiliser une primitive de cette fonction.

Corollaire : integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis

Le corollaire établit que si f est une fonction continue sur un intervalle open bracket, a, space, ;, b, close bracket et F une primitive de f sur open bracket, a, space, ;, b, close bracket, alors l'aire du domaine compris entre C, start subscript, f, end subscript et l'axe des abscisses sur l'intervalle open bracket, a, space, ;, b, close bracket est égale à F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis.
La vidéo.

1 : Appliquer le théorème

Exercice 1.1
  • Actuelle
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, x, end superscript, square root of, 2, t, plus, 7, end square root, d, t
g, prime, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 : Appliquer le théorème et la règle de dérivation des fonctions composées

Nous pouvons utiliser le théorème pour des fonctions plus complexes. On veut déterminer left parenthesis, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, cubed, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, right parenthesis, prime.
Soit F la fonction définie par F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. D'après le théorème fondamental du calcul intégral F, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Donc integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, cubed, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, F, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis et left parenthesis, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, cubed, end superscript, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, right parenthesis, prime, equals, left parenthesis, F, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, right parenthesis, prime. On applique ensuite la formule de dérivation d'une fonction composée :
=(⁡∫0x3sin⁡(t) dt)′=(⁡F(x3))′=F′(x3)×⁡(x3)′=sin⁡(x3)×3x2\begin{aligned} &\phantom{=}(\operatorname{}\displaystyle \int_{0}^{x^3}\sin(t) \, dt)' \\\\ &=(\operatorname{}F(x^3))' \\\\ &=F'(x^3)\times\operatorname{}(x^3)' \\\\ &=\sin(x^3)\times 3x^2 \end{aligned}
Exercice 2,1
  • Actuelle
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, start superscript, 4, end superscript, end superscript, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t
F, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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