Intégrales impropres

Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction $f$f est illimité, alors l'intégrale de $f$f sur cet intervalle est dite impropre.

C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est $-∞$minus, ∞ ou $+∞$plus, ∞. Dans ces cas-là, l'intégrale de la fonction de $a$a à $+∞$plus, ∞ est la limite de l'intégrale de $f$f de $a$a à $b$b lorsque $b$b tend vers $+∞$plus, ∞, et l'intégrale de la fonction de $-∞$minus, ∞ à $a$a est la limite de l'intégrale de $f$f de $b$b à $a$a lorsque $b$b tend vers $-∞$minus, ∞. Par exemple, $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^2}\,dx=\displaystyle\lim_{b\to+\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, plus, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x, equals, limit, start subscript, b, \to, plus, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x.

C'est aussi le cas de l'intégrale de $c$c à $b$b d'une fonction $f$f qui tend vers l'infini lorsque $x$x tend vers $c$c (ou vers $b$b). Si $f$f tend vers $+∞$plus, ∞ lorsque $x$x tend vers $c$c, alors l'intégrale de $f$f de $c$c à $b$b est la limite de l'intégrale de $f$f de $a$a à $b$b lorsque $a$a tend vers $c$c. Par exemple, $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx=\displaystyle\lim_{a\to0^+}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x, equals, limit, start subscript, a, \to, 0, start superscript, plus, end superscript, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x.

Si l'aire sous la courbe du domaine illimité est finie, alors l'intégrale impropre correspondante est dite convergente. Si cette aire est infinie, elle est dite divergente.

Voici par exemple le calcul de $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^2}\,dx=\displaystyle\lim_{b\to+\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, plus, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x, equals, limit, start subscript, b, \to, plus, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. On sait calculer l'intégrale de $1$1 à $b$b de la fonction $f:x$f, colon, x $↦$↦ $1/x^2$1, slash, x, squared. Pour revoir la méthode, cliquez ici

On calcule sa limite quand $b$b tend vers $+∞$plus, ∞ :

Voici par exemple le calcul de $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx=\displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x, equals, limit, start subscript, a, \to, 0, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. On calcule d'abord l'intégrale de $a$a à $1$1 :

On calcule sa limite quand $b$b tend vers $+∞$plus, ∞ :