La formule et ses utilisations.

La formule des primitives d'une fonction puissance

nn est un nombre rationnel différent de 1-1, \operatorname{}
Si f(x)=xnf(x)=x^n et n1n≠-1, alors F(x)=xn+1n+1+CF(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\operatorname{}\operatorname{}
La dérivée de xn+1x^{n+1} est (n+1)xn(n+1)x^n, donc une primitive de xnx^n est le quotient de xn+1x^{n+1} par n+1n+1.
N’oubliez pas que cette formule ne s’applique pas à n=1n =-1 .
Elle est facile à retrouver à partir de la formule de dérivation des puissances.

Primitives d'une fonction polynôme

La formule permet de calculer les primitives de n'importe quelle fonction polynôme. Soit, par exemple, la fonction ff définie par f(x)=3x7f(x)=3x^7. Ses primitives sont les fonctions FF telles que :
F(x)=3(x7+17+1)+C=3(x88)+C=38x8+C\begin{aligned} \displaystyle F(x)&=3\left(\dfrac{x^{7+1}}{7+1}\right)+C \\\\ &=3\left(\dfrac{x^8}{8}\right)+C \\\\ &=\dfrac{3}{8}x^8+C \end{aligned}\operatorname{}
Vous pouvez vérifier votre résultat en calculant la dérivée de la primitive que vous avez calculé !
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices :

Primitives d'une fonction puissance d'exposant négatif

Soit, par exemple, la fonction ff définie par f(x)=1x2=x2f(x)=\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}.
Ses primitives sont les fonctions  dfinies par : FeˊF(x)=x2+12+1+CF(x)=x11+CF(x)=1x+C\begin{aligned} \displaystyle\operatorname{} \text{Ses primitives sont les fonctions $F$ définies par : } \\\\ &F(x)=\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C \\\\ &F(x)=\dfrac{x^{-1}}{-1}+C \\\\ &F(x)=-\dfrac{1}{x}+C \end{aligned}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices :

Primitives des fonctions puissances d'exposant fractionnaire

Soit, par exemple, la fonction ff définie sur [0 ;+[[0~;+∞[ par f(x)=xf(x)=\sqrt x.
f(x)=x=x12F(x)=x12+112+1+C=x3232+C=2x33+C\begin{aligned} \displaystyle f(x)= \sqrt x&=\displaystyle x^{^{\large\frac{1}{2}}} \\\\ F(x)&=\dfrac{x^{^{\large\frac{1}{2}\normalsize+1}}}{\dfrac{1}{2}+1}+C \\\\ &=\dfrac{x^{^{\large\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C \\\\ &=\dfrac{2\sqrt{x^3}}{3}+C \end{aligned}\operatorname{}\operatorname{}
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices :
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