Exercices sur l'identification et le calcul de sommes de Riemann.

Partie 1 : Trois types de somme de Riemann

1) Quelle somme de Riemann est représentée ci-dessous ?
Réponse :
Réponse :

Chaque rectangle ii a pour longueur l'ordonnée de la borne inférieure ou de l'extrémité gauche de chaque intervalle [xi ;xi+1][x_i~; x_{i+1}] sur lequel il est construit, soit la valeur de la fonction en xix_i .
C'est une somme de Riemann à gauche.
2) Quelle somme de Riemann est représentée ci-dessous ?
Réponse :
Réponse :

Chaque rectangle ii a pour longueur l'ordonnée du milieu de chaque intervalle [xi ;xi+1][x_i~; x_{i+1}] sur lequel il est construit, soit la valeur de la fonction en (xi+1xi)/2(x_{i+1}-x_i)/2 .
C'est une somme de Riemann au milieu.
3) Quel type de somme de Riemann est représentée ci-dessous ?
Réponse :
Réponse :

Chaque rectangle ii a pour longueur l'ordonnée de la borne supérieure ou de l'extrémité droite de chaque intervalle [xi ;xi+1][x_i~; x_{i+1}] sur lequel il est construit, soit la valeur de la fonction en xi+1x_{i+1} .
C'est une somme de Riemann à droite.

Partie 2 : La somme de Riemann à gauche

La figure ci-dessous représente une somme de Riemann à gauche. Nous voulons trouver l'aire totale de ces quatre rectangles.
Le premier rectangle : Sa largeur mesure 2\blueD 2 unités. Sa longueur mesure f(0)=1+0,1×02=1f(0) = 1 + 0{,}1\times 0^2 = \greenD 1 unité. Son aire est égale à 2×1=2\blueD 2 \times \greenD 1 = 2 unités d'aires.
Le deuxième rectangle : Sa largeur mesure 2\blueD 2 unités. Sa longueur mesure f(2)=1+0,1×22=1,4f(2) = 1 + 0{,}1\times 2^2 = \greenD {1{,}4} unités. Son aire est égale à 2×1,4=2,8\blueD 2 \times \greenD {1{,}4} = 2{,}8 unités d'aires.
Le troisième rectangle : Sa largeur mesure 2\blueD 2 unités. Sa longueur est f(4)=1+0,1×42=2,6f(4) = 1 + 0{,}1\times 4^2 = \greenD {2{,}6} unités. Son aire est égale à 2×2,6=5,2\blueD 2 \times \greenD {2{,}6} = 5{,}2 unités d'aires.
Le quatrième rectangle :
Sa largeur mesure
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
unités.

Sa longueur mesure
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
unités.

L'aire est égale à
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
unités d'aire.

Le quatrième rectangle : La base est de 2\blueD 2 unités. La hauteur est de f(6)=1+0,1×62=4,6f(6) = 1 + 0{,}1\times 6^2 = \greenD {4{,}6}. L'aire est de 2×4,6=9,2\blueD 2 \times \greenD {4{,}6} = 9{,}2 unités d'aire.
La somme des aires des quatre rectangles correspond à la somme de Riemann à gauche. Elle donne une valeur approchée de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction ff définie par f(x)=1+0,1x2f(x)=1+0{,}1x^2 et l'axe des abscisses sur l'intervalle [0 ;8][0~;8].
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
unités d'aire

2+2,8+5,2+9,2=19,22 + 2{,}8 + 5{,}2 + 9{,}2 = 19{,}2 unités d'aire

Partie 3 : La somme de Riemann au milieu

La figure ci-dessous représente une somme de Riemann au milieu.
Quelle expression correspond à la somme de Riemann au milieu ?
Réponse :
Réponse :

2×f(1)+2×f(3)+2×f(5)+2×f(7)2 \times f(1) + 2 \times f(3) + 2\times f(5) + 2 \times f(7)

Partie 4 : Somme de Riemann à droite

La figure ci-dessous représente une somme de Riemann à droite.
Quelle expression correspond à la somme de Riemann à droite ?
Réponse :
Réponse :

2×(f(2)+f(4)+f(6)+f(8))2× (f(2) + f(4) + f(6) + f(8))
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