Pour faire le point.

Que sont les sommes de Riemann ?

Une somme de Riemann est une approximation de l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction et l'axe des abscisses sur un intervalle donné. On découpe l'intervalle en nn intervalles et sur chacun, on construit des figures géométriques simples (comme des rectangles ou des trapèzes). La somme des aires de ces figures est alors une approximation de l'aire cherchée.
Dans une somme de Riemann à gauche, nous approchons l'aire en construisant des rectangles (généralement de largeurs égales) et la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de l'extrémité gauche de l'intervalle sur lequel il est construit.
Dans une somme de Riemann à droite, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de l'extrémité droite de l'intervalle sur lequel il est construit.
Dans une somme de Riemann au milieu, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction du milieu de l'intervalle sur lequel il est construit.
On peut aussi construire des trapèzes afin d'approcher l'aire sous une courbe (la méthode des trapèzes). Dans ce cas, la longueur des bases de chaque trapèze sont les images par la fonction des bornes de l'intervalle sur lequel il est construit.
Quelque soit la méthode, lorsque le nombre nn de sous-intervalles augmente, l'approximation de l'aire sous la courbe devient plus précise. L’approximation sera donc d’autant meilleure que le découpage de l'intervalle est important.
Par la suite, nous appellerons les approximations qui ont recours à des rectangles sommes de Riemann et celles qui ont recours à des trapèzes méthode des trapèzes.

1 : Approcher l'aire sous une courbe avec les sommes de Riemann

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercises.

2 : Approcher l'aire sous une courbe avec la méthode des trapèzes

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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